高中物理模型人船模型解析

1、人船问题：

人船系统在相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零，即人和船组成的系统在运动过程中动量守恒。

2、两类问题

第一类：直线运动的人船模型

如图，质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？

设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为和

由动量守恒定律得：

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度和均满足上述关系

可得：

第二类：曲线运动的人船模型

如图所示，小球质量为m，轨道质量为M，半径为R，将m静止释放，不计阻力，分析结论.

运动到最低点，水平方向上动量守恒

动量守恒：mv_m=Mv_M

移动距离：mv_mt=Mv_Mt即mx_m=Mx_M

位移之和：x_m+x_M=R

联立解得：x_m=R，x_M=R

运动到另外一端最高点，水平方向上动量守恒

动量守恒：mv_m=Mv_M

移动距离：mv_mt=Mv_Mt即mx_m=Mx_M

位移之和：x_m+x_M=2R

联立解得：

例1、气球质量200kg截有质量为50kg的人，静止在空中距地面20m高的地方，气球下悬一质量不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为安全到达地面，则这根绳至少多长？

解：人与气球组成的系统竖直方向动量守恒

由动量守恒得：m₁v₁﹣m₂v₂＝0

即：m₁﹣m₂＝0

绳子长度：L＝s_气球+s_人

解得：L＝25m

例2、如图所示，质量分别为m₁和m₂（m₁＞m₂）的两个人分别站在静止于光滑水平面上的质量为M的小车的两端，小车长为L，当两人交换位置时，车将向哪个方向移动？移动多大距离？

解：设当两人交换位置时，车将向右移动的距离为x。

则在此过程中，质量m₁的人相对于地的位移为x+L

质量m₂的人相对于地的位移为L﹣x

由动量守恒定律和速度公式得：

0＝M+m₁﹣m₂

解得x＝﹣L

因为m₁＞m₂，所以x＜0，说明小车向左移动

答：当两人交换位置时，车将向左移动，移动距离为L。

练习

1．有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长（估计一吨左右）。一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量。他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船头后停下来，而后轻轻下船。用卷尺测出船后退的距离为d，然后用卷尺测出船长L，已知他自身的质量为m，则渔船的质量为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设人走动时船的速度大小为v，人的速度大小为v′，人从船尾走到船头所用时间为t。取船的速度为正方向。

则v＝，v′＝

根据动量守恒定律：Mv﹣mv′＝0，

则得：M＝m

解得渔船的质量：M＝

故选：B。

2．如图所示，在光滑的水平面上，有一静止的小车，甲、乙两人分别站在小车左、右两端。当他俩同时相向而行时，发现小车向右运动，下列说法正确的是（　　）

A．乙的速度必定小于甲的速度    

B．乙的速度必定大于甲的速度    

C．乙的动量必定小于甲的动量    

D．乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量

解：ABC、甲、乙两人相向而行的过程中，甲、乙两人及小车组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，根据动量守恒定律得：m_甲v_甲+m_乙v_乙+m_车v_车＝0，小车向右运动，小车的动量方向向右，说明甲与乙两人的总动量向左，因乙向左运动，甲向右运动，则乙的动量必定大于甲的动量，但是由于不知两人的质量关系，故无法确定两人的速度大小关系，也不能确定两人动能大小关系，故ABC错误；

D、对小车分析可知，小车向右运动，由动量定理可知，小车受外力的冲量向右，人在行走时对小车的冲量与人的运动方向相反，则说明乙对小车的冲量大于甲对小车的冲量，故D正确。

故选：D。

3．如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h，今有一质量为m的物体（M＞m，且物体可以看做质点），沿光滑斜面下滑，当物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：物体与斜面在水平方向上动量守恒，设物块的速度方向为正方向，则有：

mv₁﹣Mv₂＝0

运动时间相等，则有：

ms₁﹣Ms₂＝0

由题意可知，s₁+s₂＝

联立解得：斜面体在水平面上移动的距离s₂＝．故C正确，ABD错误。

故选：C。

4．光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为α的斜面体A，斜面体质量为M，底边长为L，如图所示。将一质量为m可视为质点的滑块B从斜面的顶端由静止释放，滑块B经过时间t刚好滑到斜面底端。则下列说法中正确的是（　　）

A．此过程中斜面体向左滑动的距离为L     

B．滑块下滑过程中支持力对B不做功        

C．滑块B下滑过程中A、B组成的系统动量守恒     

D．滑块下滑的过程中支持力对B的冲量大小mgtcosα

解：A、滑块与斜面体组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：

mv﹣MV＝0

m﹣M＝0

解得滑块下滑过程斜面体向左滑动的距离为：x＝，故A正确；

B、滑块下滑过程斜面体对滑块的支持力方向与滑块的位移方向不垂直，支持力对滑块B做功，故B错误；

C、滑块B下滑过程中A、B组成的系统在水平方向动量守恒，由于系统在竖直方向所受合外力不为零，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故C错误；

D、滑块下滑过程处于失重状态，斜面体对滑块B的支持力小于mgcosα，支持力对B的冲量大小小于mgtcosα，故D错误。

故选：A。

5．如图所示，光滑水平面上有两个相同的光滑弧形槽，左侧弧形槽静止但不固定，右侧弧形槽固定，两个弧形槽底部均与水平面平滑连接。一个小球从左侧槽距水平面高h处自由下滑，已知小球质量为m，弧形槽质量均为2m，下列说法正确的是（　　）

A．小球从左侧弧形槽下滑过程中，小球和槽组成的系统动量守恒        

B．小球从左侧弧形槽下滑过程中，小球和槽组成的系统机械能守恒    

C．小球滑上右侧弧形槽后，上升的最大高度为h     

D．小球第二次滑上左侧弧形槽，上升的最大高度为h

解：A、槽和地面接触面光滑，则小球从左侧槽下滑过程中，小球和槽组成的系统水平方向所受合外力为零，则水平方向上动量守恒，故A错误；

B、从左侧槽下滑过程中，小球和槽组成的系统接触面光滑，无机械能损失，机械能守恒，故B正确；

C、球下滑到底端时由动量守恒可知mv₁＝2mv₂，由机械能守恒可得mgh＝mv₁²+，小球滑上右侧弧形槽后，上升的最大高度为h′，由机械能守恒定律可得，mgh′＝mv₁²，可得h′＜h，故C错误；

D、小球第二次滑上左侧弧形槽，滑上最大高度时，小球和左侧弧形槽共速，具有动能，小球重力势能小于初态重力势能，上升的高度最大小于h，故D错误。

故选：B。

6．如图所示，将一质量为2m、半径为R的半圆形槽置于光滑水平面上，现让一质量为m的小球从A点正上方h处静止释放，经最低点后能从右端最高点冲出，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）

A．小球与槽组成的系统动量守恒        

B．小球离开槽后做斜上抛运动    

C．小球从右端上升的高度等于h 

D．槽向左运动最大距离为R

解：A、系统水平方向不受力，所以小球与槽组成的系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，即小球与槽组成的系统动量不守恒，故A错误；

B、系统水平方向动量守恒且系统水平方向的总动量为零，所以当小球离开槽时只具有竖直方向速度，做竖直上抛运动，故B错误；

C、小球离开槽时，小球具有竖直向上的速度，此时槽的速度为零，则由机械能守恒定律可知，小球上升高度等于h，故C正确；

D、设槽向左的最大距离为x，系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，有：m﹣2m＝0

解得：x＝R，故D错误。

故选：C。

7．如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则：

（1）当线绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是多少？

（2）求小球运动到最低点时的速度大小．

解：（1）虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等），系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒．设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v，圆环的水平速度为V，取水平向右为正方向，由水平动量守恒有：

MV﹣mv＝0

且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：

Md﹣m[（L﹣Lcosθ）﹣d]＝0

解得圆环移动的距离：d＝

（2）设小球运动到最低点时，圆环和小球的速度大小分别为v₁和v₂．根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得：

0＝Mv₁+mv₂；

mgL＝Mv₁²+mv₂²；

联立解得：v₂＝

答：（1）当线绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是．

（2）小球运动到最低点时的速度大小是．

8．质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车的上表面是一光滑的曲面，末端是水平的，如图所示，小车被挡板P挡住，质量为m的物体从距地面高H处自由下落，然后沿光滑的曲面继续下滑，物体落地点与小车右端距离s₀，若撤去挡板P，物体仍从原处自由落下，求物体落地时落地点与小车右端距离是多少？

解：小车被挡板P挡住时，设小球滑离小车时的速度v₁，车尾部（右端）离地面高为h。小球从最高点下落至滑离小车时机械能守恒，则有：

mg（H﹣h）＝mv₁²…①

由平抛运动的规律得：

s₀＝v₁t…②

h＝gt²…③

联立解得：s₀＝

设去掉挡板P时小球离开小车时速度为v₂，小车速度为v′₂，小球从最高点至离开小车之时系统的机械能守恒，有：

 mg（H﹣h）＝mv₂²+Mv′₂²…④

小球与小车相互作用过程中水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，则得Mv′₂﹣mv₂＝0…⑤

得v₂＝v₁，v′₂＝v₁

小球离开车后对地平抛运动，则有：

s₂＝v₂t′…⑥

h＝gt′²…⑦

车在t′时间内向前的位移为：

s′₂＝v′₂t′…⑧

此种情况下落地点距车右端的距离为：

s＝s₂+s′₂＝v₁t+v₁t＝（1+）s₀＝s₀…⑨

答：物体落地时落地点于小车右端距离是s₀。

9．如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R＝0.5m的光滑四分之一圆弧轨道，BC段为一长度L＝0.5m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道﹣上的一个确定点，一可视为质点的物块，其质量m＝0.2kg，与BC间的动摩擦因数μ＝0.4；工件质量M＝0.8kg，与地面间的摩擦不计。（g＝10m/s²）

（1）若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求P、C两点间的高度差；

（2）如果不固定工件，将物块由P点无初速度释放，求滑至静止时工件运动的位移。

解：（1）物块从P点下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得：

mgh﹣pmgL＝0

代入数据得：h＝0.2m；

（2）由几何知识可知P点到B点的水平距离为L₁＝0.4m，设在BC段物块相对于工件的位移为x，根据动能定理有：

mgh﹣μmgx＝0

解得：x＝0.5m

在物块与工件相对运动的过程中，设物块向左的位移大小为x₁，工件向右的位移为x₂

则x₁+x₂＝x+L₁＝0.9m

因为工件和物块组成的系统在水平方向上不受力，所以系统在水平方向上动量守恒

即：mx₁﹣Mx₂＝0

则

可得x₂＝0.18m，方向向右。

答：（1）若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，P、C两点间的高度差为0.2m；

（2）如果不固定工件，将物块由P点无初速度释放，滑至静止时工件运动的位移为0.18m，方向向右。

10．平静的水面上漂浮着一块质量为M＝250g的带有支架的木板，木板左边的支架上蹲着一只质量为m＝50g的青蛙。支架高h＝20cm，支架右方的水平木板长S＝30cm。青蛙水平向右跳出，为了直接跳到水中，它跳出的初速度v₀至少是多大？（水的阻力忽略不计，取g＝10m/s²。）

解：青蛙跳出后做平抛运动，竖直方向：h＝gt²，由题意可知：h＝20cm＝0.2m，代入数据解得：t＝0.2s，

设青蛙的初速度v₁，木块获得反冲速度为v₂，青蛙跳出过程青蛙与木板组成的系统在水平方向动量守恒，

以向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得：mv₀﹣Mv＝0

青蛙跳出后做平抛运动，木板做匀速直线运动，x_青蛙＝v₀t，x_木板＝vt，

青蛙恰好进入水中，则：s＝x_青蛙+x_木板，

M＝250g＝0.25kg，m＝50g＝0.05kg，s＝30cm＝0.3m，

代入数据解得：v₀＝1.25m/s，v＝0.25m/s

答：为了直接跳到水中，它跳出的初速度v₀至少是1.25m/s。