趣题：七圆定理 一个非常漂亮的结论

给定一个大圆C，里面的六个小圆均内切于圆C。如果这六个小圆中每相邻两个小圆均外切，则连接相对的内切点所成的三条线段共点。

这是一个非常漂亮的结论。它的证明比较复杂。如果你能独立想出来的话，你就牛B了。大家不妨来挑战一下。

Stanley Rabinowitz于1975给出了一个简单的初等证明。证明的关键在于下面的这个引理：圆周上有A、B、C、D、E、F六点，线段AD、BE、CF共点当且仅当AB·CD·EF=BC·DE·FA。

引理的证明其实很简单。注意到圆周角∠CBE和∠CFE相等，圆周角∠BCF和∠BEF相等，于是△CPB∽△EPF。类似地，每一组相对的三角形都相似。于是，我们有：

AB/DE = PA/PE

CD/FA = PC/PA

EF/BC = PF/PB

PC/PE = PB/PF

等式左边右边分别乘起来，结论也就证到了。

引理的充分性也是类似的。假设AB·CD·EF=BC·DE·FA但三线不共点，令某两条线段（比如BE和CF）的交点为P，延长AP交圆于X，则有AB·CX·EF=BC·XE·FA，两式一比较我们就发现CX/XE=CD/DE，那只有可能是点X与点D重合。

下面我们的任务就简单了：假如已知圆C的半径为R，圆P和圆Q外切且分别与圆C内切，半径分别为p和q，我们需要想办法求出线段AB的长度。

延长AM交圆C于D，延长BM交圆C于E。△ACD和△APM都是等腰三角形，且有一个公共角∠A，因此这两个三角形相似，从而推出CD∥MP；同理，CE∥MQ。但PMQ在一条直线上，因此DCE也是一条直线。注意到圆周角∠EBA=∠EDA，且∠BAD=∠BED。于是我们发现△ABM和△EDM也是相似的，即AB/DE=AM/EM=BM/DM。但DE等于2R，于是有：

AB/2R · AB/2R

= AM/EM · BM/DM

= AM/DM · BM/EM

= AP/CP · BQ/CQ

= p(R – p) · q(R – q)

现在，把这个结论同时运用到六对外切圆上。假如六个圆与圆C的切点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，则有：

(A1A2 · A3A4 · A5A6)^2

=64R^6 · r1(R-r1)·r2(R-r2)·r3(R-r3)·r4(R-r4)·r5(R-r5)·r6(R-r6)

=(A2A3 · A4A5 · A6A1)^2

那么A1A2·A3A4·A5A6=A2A3·A4A5·A6A1，由前面的引理我们就知道了A1A4、A2A5、A3A6三线共点。

来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SevenCirclesTheorem.shtml