任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点,令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD作垂线,垂足分别为P、Q。证明H、P、M、Q四点共圆。
证明过程不复杂,几句话就说完了。但如果你能独立想出证明过程来的话也不简单。继续看下去前不妨先试试看。
结论看起来似乎很神奇,但证明过程却并没有什么很特别的地方。
为了说明四点共圆,我们下面说明圆周角∠HQP=∠HMP。首先我们证明,∠HQP=∠ACB。由于∠AHC=∠AQC=90°,因此A、H、Q、C四点共圆,于是圆周角∠HQP=∠ACB。然后我们证明,∠ACB=∠HMP。延长BP后你会发现,P是BR的中点(AP既是角平分线又是垂线,等腰三角形三线合一),而M是BC的中点,于是PM∥RC,当然就有∠ACB=∠HMP。
题目来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BalticDarij1.shtml
平面几何真好玩啊……怀念一下初中的美好时光。