比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么？

小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。 a × b 就表示 b 个 a 相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。 a ^ b 就表示 b 个 a 相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛 B 的运算符号；大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么？下面，有请今天的主角——超级幂——登场！

很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个 “a 次方” 重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题： a ^ a ^ a 究竟应该等于 (a ^ a) ^ a ，还是 a ^ (a ^ a) ？。我们不妨来算一算，不同算法得到的结果相差多远：

(2 ^ 2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16

2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 4 = 16

难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗？让我们换 a = 3 试试：

(3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683

3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 7625597484987

哇，这下可就差远了。可以想象，如果把 “a 次方” 再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示 b 个 a 构成的指数塔，这种运算的威力会多大。

1947 年，数学家 Goodstein 发现，不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成 0 。但是，数列收敛到 0 的速度极其缓慢，以至于 Goodstein 需要处理一些连乘方也无法表达出来的大数。于是， Goodstein 便正式提出了这种超越乘方的运算。他把 b 个指数 a 迭代的结果记为^ba ，也就是把 b 放在 a 的左上角。在国外的一些论坛上，有时也能看见 a^^b 的表示方法，便于在纯文本格式下的传播。不过，当时 Goodstein 并没有用超级幂 (superexponentiation) 一词，而是用的 tetration 一词。这是由前缀“四” (tetra-) 和迭代 (iteration) 一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。网上甚至有一个tetration 论坛，论坛里活跃着一群热爱 tetration 的数学 geek 。

超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人。在很小的数之间进行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字。³2 等于 2 ^ (2 ^ 2) = 16 ，而⁴2 就等于 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2)) = 65536 。那么，⁵2 等于多少呢？它应当等于 2 的 65536 次方，其结果是一个上万位的数。那⁶2 呢？¹⁰⁰100 呢？大家自己去想象吧。

我们能轻松定义出超级幂的概念，但为什么这个东西却如此“小众”呢？当然，超级幂缺乏很多加减乘除和乘方运算具有的性质，这是一个重要的原因；不过，我想应该还有一个最基本的原因吧——超级幂本身没有什么实用价值。重复对折纸张、增长率的叠加、赌博游戏中的翻番，它们都可以用乘方来描述。实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗？我想应该不会有吧。

人类的想象力是无止境的。即使超级幂已经大到无法用言语描述的地步，大家还是会问，再把 “a 次超级幂” 迭代 b 层（注意运算顺序仍是从最深那一层开始），又会得到什么？是否就得到了第五级的运算呢？或许你马上就意识到了，这样扩展上去是没有尽头的，每一级运算迭代之后都能产生更高一级的运算。虽然此时脑子已经有点乱了，但是数学语言的严格性和理想性告诉我们，利用某种清晰的数学符号和递归法则，我们一定有办法定义出等级越来越高的运算来。

Goodstein 牛就牛在这儿。他定义了 Goodstein 记号 G(n, a, b) ，来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算。当 n = 0 时，规定 G(0, a, b) = b + 1 。也就是说，第零级运算是一个一元运算——自然数的后继。当 n = 1 时，规定边界值 G(1, a, 0) = a ，并规定 G(1, a, b) 表示对 G(1, a, 0) 的值进行上一级操作（后继操作），并重复迭代 b 次，其结果也就是 a 加上 b 。⼀般地，有:

G(n, a, b) = G(n – 1, a, G(n, a, b – 1))

其中边界值为

G(1, a, 0) = a

G(2, a, 0) = 0

G(3, a, 0) = 1

G(4, a, 0) = 1

G(5, a, 0) = 1

…

这就形式化地给出了第 n 级运算的意思。

类似的东西不止一次地被提出过。两年前给大家介绍过世界上最大的数，当时就用到了 Knuth 箭头记号。这也是一种表示大数的方法，其思想与 Goodstein 记号几乎完全一样。 Ackermann 函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用 a [n] b 来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算，是我比较喜欢的一种符号。

当然，有 a [n] b ，必然会有 a [a [n] b] b ，从而又会有 a [a [a [n] b] b] b ⋯⋯没有最大的数，只有更大的数。人脑和数学是两个神奇的东西，没有什么数大到人脑想不出来，也没有什么数大到数学表示不出来。仅仅在脑中试想一下 100 [100] 100 ，你的思想就已经超越了整个宇宙的大小了。