物理方法解决数学问题（四）：Fermat-Torricelli问题

据说，17世纪时，大数学家Fermat曾向意大利的物理学家和数学家Torricelli提出过这样一个问题：在已知锐角三角形ABC内求一点P，使得PA+PB+PC最小。Torricelli证明了，这个点是存在的，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出，若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，交点即为所求的点P。这个点后来被称为Fermat点，通常记作F。这个定理有很多种证明，这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。

考虑三角形内任一点P，将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。显然，△BPP'是等边三角形，PB=P'P；同时，PA也转移到了C'P'，于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC，P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。注意C'的位置是和P无关的（C'AB始终成等边三角形），因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。这个最小值是可以达到的，即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°，则旋转之后∠C'P'B也等于120°，正好与∠BP'P组成一个平角，于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上，C'P'+P'P+PC达到最小。这个点就是我们要求的Fermat点F。注意这个点F满足以下两条性质：在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上，对AB张角为120°。由对称性，∠BFC和∠CFA也都等于120°，且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。

这个题目真正有趣的地方在于，它有一个非常简单的物理解法。我们可以用Fermat原理来说明，为什么Fermat点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度，那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时，路径B->F->C必然符合光的传播性质，反射点F满足入射角等于反射角，也就是说AF的延长线（即法线）平分∠BFC。同样地，固定BF的长度，则要想AF+FC最小，BF的延长线必须平分∠AFC。类似地，还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时，AF+BF+CF才能达到最小，否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等，我们立即看到，右图中所有这6个角全都等于60°。这样，我们就得到了先前证明的结论：存在点F使得它到A、B、C的距离和最小，此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。

上面的这个问题有一个扩展，叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, …, An，每个点都有一个权值W1, W2, …, Wn，广义Fermat点是这样的一个点P，它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性，有非常高的实用价值。比如，城区里有n个住宅区，第i个住宅区里有Wi个人，问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前，广义Fermat点问题还没有一般结论，但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明，这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上，我们可以建立力学模型找出这个点来。

取一块木板，在木板上标出n个点所在的位置，各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳，把所有绳子的其中一头扎结于一点；第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去，绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后，把木板水平悬在空中，此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢？

道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向，此时重力势能转化为动能；当整个系统静止时，势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离，那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定，因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值，所以ΣPAi*Wi达到最小。