一个与球内接多面体体积有关的问题

在所有周长相等的长方形中，正方形拥有最大的面积；在所有周长相等的平面图形中，圆拥有最大的面积；在所有表面积相等的长方体中，正方体拥有最大的体积；在所有表面积相等的立体图形中，球拥有最大的体积。所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗？ George Pólya 在 Mathematical Discovery 一书中的第 15 章里举了下面这个例子。

在给定圆周上选取四个点构成一个四边形，那么正方形的面积一定是最大的吗？答案是肯定的。只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处，我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处，使得整个图形的面积变得更大。好了，我们现在的问题是，在球面上选取八个点构成一个顶点数为 8 的多面体，那么正方体一定是体积最大的吗？

答案居然是否定的。单位球中的内接正方体，体对角线将会等于球的直径 2 ，那么这个正方体的边长 x 就应该满足 x²+ x²+ x²= 2²，解得 x = 2 / √3。因而，这个正方体的体积就是 (8 / 9) · √3。现在，让我们再想象这样一种单位球中的内接多面体：作出赤道面上的内接正六边形，再把它的各个顶点与南北极相连，构成一种由两个正六棱锥拼接而成的立体图形。每一个正六棱锥的底面都是一个边长为 1 的正六边形，其面积为 (3 / 2) · √3；由于棱锥的高也是 1 ，因此棱锥的体积就是 (1 / 3) · (3 / 2) · √3= (1 / 2) · √3。两个这样的棱锥拼在一起，总体积就是 √3，这比单位球里的内接正方体体积更大。看来，在与几何图形相关的最值问题中，并不是最对称的那个图形就是最好的。

为什么会出现这种情况呢？其中一种原因是，立方体虽然非常对称，但它的面太少了。可以想象，如果两个多面体内接于同一个球里，并且它们的顶点数相同，那么谁的面更多一些，谁就有希望占据更大的空间。事实上，我们可以推出，对于顶点数目一定的多面体，如果面数达到最大，则每个面都将会是三角形。根据 Euler 公式，多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 满足 E = F + V – 2 ，另外注意到多面体所有面的边数之和为 2 · E （因为每条棱都被算了两次），因而平均每个面的边数就可以表示为 2 · E / F = 2 · (F + V – 2) / F = 2 + (2 · V – 4) / F 。从这个式子中可以看出，当顶点数目一定时，随着面数的增加，多面体平均每个面的边数将会减少。面数最多的情况，也就是多面体平均每个面的边数最少的情况，也就是每个面都是三角形的情况。

其实，刚才那个双棱锥仍然不是最优解。下图所示的单位球内接多面体也拥有八个顶点，但它的体积更大，约为 1.8157161 。根据我能查到的资料显示，这应该就是体积最大的解了。