趣题：圆中的两个相切的半圆

下面这个结论是 Andrew Jobbings 在 2011 年指出的：

AB 是圆 O 的一条直径， CD 、 EF 是两条垂直于 AB 的弦，并且以 CD 为直径的半圆和以 EF 为直径的半圆正好切于点 T 。那么，两个半圆的面积之和一定等于圆 O 的面积的一半。

你能证明这个结论吗？

下面是cut-the-knot网站上给出的一种证明方法。如果把两个半圆的半径分别记作 r₁和 r₂，把整个大圆的半径记作 R ，那么我们只需要证明

π r₁²/ 2 + π r₂²/ 2 = π R²/ 2

即

r₁²+ r₂²= R²

由于 △MCO 是直角三角形，由勾股定理可知

MO²+ MC²= OC²

其中 MC 就是其中左边那个半圆的半径， OC 就是整个圆 O 的半径，因而我们只需要证明 MO 就是右边那个半圆的半径即可。现在，连接 CT 、 FT ，你会发现 △MCT 和 △NFT 都是等腰直角三角形，并且 C 、 T 、 F 在一条直线上。由于圆心角的度数是圆周角的两倍，因此 ∠COE = 2 ∠CFE = 90° ，由此可知 ∠1 + ∠2 = 90° 。而 ∠2 + ∠3 = 90° ，于是 ∠1 = ∠3 。根据同样的道理，我们还可以得到 ∠2 = ∠4 。再加上整个大圆的半径 OC = OE ，就足以判定 △MCO 和 △NOE 全等了。这说明 MO = NE ，而后者正是右边那个半圆的半径。