寻找相邻两项之比不趋于 1.618 的广义 Fibonacci 数列

大家或许知道 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 有一个非常漂亮的性质：数列中的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 。事实上，如果我们用 F(n) 来表示第 n 个 Fibonacci 数的话，那么当 n → ∞ 时，我们有 F(n + 1) / F(n) → (1 + √5) / 2 。

不过，可能有人并不知道，如果把 Fibonacci 数列的前两项换成两个其他的正整数（但保持 Fibonacci 数列的递推关系不变），由此所得的广义 Fibonacci 数列当中，相邻两项之比仍然会趋近于 (1 + √5) / 2 。比方说，如果数列的前两项为 7, 2 ，那么整个数列的前 15 项以及相邻两项之比的情况如下：

7, 2, 9, 11, 20, 31, 51, 82, 133, 215, 348, 563, 911, 1474, 2385, …

2 / 7 = 0.28571429…

9 / 2 = 4.5

11 / 9 = 1.2222222…

20 / 11 = 1.8181818…

31 / 20 = 1.55

51 / 31 = 1.6451613…

82 / 51 = 1.6078431…

133 / 82 = 1.6219512…

215 / 133 = 1.6165414…

348 / 215 = 1.6186047…

563 / 348 = 1.6178161…

911 / 563 = 1.6181172…

1474 / 911 = 1.6180022…

2385 / 1474 = 1.6180461…

更神奇的是，即使最前面这两个数当中有一个负数或者都是负数，相邻两项之比的趋势依旧不变！举个例子，若数列的开头两项是 20 和 -13 ，则有：

20, -13, 7, -6, 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, -241, …

(-13) / 20 = -0.65

7 / (-13) = -0.53846154

(-6) / 7 = -0.85714286

1 / (-6) = -0.16666667

(-5) / 1 = -5

(-4) / (-5) = 0.8

(-9) / (-4) = 2.25

(-13) / (-9) = 1.4444444

(-22) / (-13) = 1.6923077

(-35) / (-22) = 1.5909091

(-57) / (-35) = 1.6285714

(-92) / (-57) = 1.6140351

(-149) / (-92) = 1.6195652

(-241) / (-149) = 1.6174497

事实上，不管数列的开头两项是多么奇怪的两个实数（比如 -7/2, √2, … 或者 π/10, -√e, … 等等），按照 Fibonacci 式的递推关系算出后面各项，相邻两项之比几乎总会趋于 (1 + √5) / 2 ！注意，刚才我们使用了“几乎”一词，因为这个结论其实并不总是成立。今天的题目就是：请你找出至少一个反例。也就是说，你需要找出至少一个由递推关系 a(i) = a(i – 1) + a(i – 2) 生成的数列，使得当 n 趋于无穷大时 a(n + 1) / a(n) 并不趋于 (1 + √5) / 2 。

对了， 0, 0, 0, 0, 0, … 这种情况自然不算。

为了方便起见，接下来我们把 (1 + √5) / 2 记作 φ ，它约等于 1.618 ；再把 (1 – √5) / 2 记作 φ’ ，它约等于 -0.618 。容易看出， φ 和 φ’ 是方程 1 + x = x²的两根。如果数列的开头两项是 1 和 φ’ 的话，这个数列会是什么样呢？由于 1 + φ’ = φ’²，因此数列的下一项是 φ’²；由于 φ’ + φ’²= φ’ · (1 + φ’) = φ’ · φ’²= φ’³，因此数列的下一项是 φ’³；由于 φ’²+ φ’³= φ’²· (1 + φ’) = φ’²· φ’²= φ’⁴，因此数列的下一项是 φ’⁴……不断这样推下去，大家很快便会发现，整个数列其实就是这样：

1, φ’, φ’², φ’³, φ’⁴, φ’⁵, φ’⁶, …

毫无疑问，这个数列的相邻两项之比永远是 φ’ = (1 – √5) / 2 ，并不会慢慢趋近于 φ = (1 + √5) / 2 。这就是一个满足要求的反例。万事开头难，有了第一个反例，再找更多的反例就不是难事了。比方说，所有以 c, c · φ’, … 开头的数列全都一并成为了反例，其中 c 可以是任意一个非 0 实数。

有趣的是，除此之外，再也没有其他的反例了。换句话说，如果你把相差一个系数的广义 Fibonacci 数列看作本质上相同的数列，那么刚才我们给出的反例是唯一的。下面我们就来证明这一点。

首先注意到，让广义 Fibonacci 数列里的每一项都乘上非 0 实数 c ，得到的仍然是一个广义 Fibonacci 数列。也就是说，如果数列

a(1), a(2), a(3), a(4), a(5), …

是一个由 a(1) 和 a(2) 生成的广义 Fibonacci 数列，那么

c · a(1), c · a(2), c · a(3), c · a(4), c · a(5), …

就是一个由 c · a(1) 和 c · a(2) 生成的广义 Fibonacci 数列。

另外，两个广义 Fibonacci 数列之和必然也是一个广义 Fibonacci 数列。也就是说，如果数列

a(1), a(2), a(3), a(4), a(5), …

是一个由 a(1) 和 a(2) 生成的广义 Fibonacci 数列，并且数列

b(1), b(2), b(3), b(4), b(5), …

是一个由 b(1) 和 b(2) 生成的广义 Fibonacci 数列，那么数列

a(1) + b(1), a(2) + b(2), a(3) + b(3), a(4) + b(4), a(5) + b(5), …

就是一个由 a(1) + b(1) 和 a(2) + b(2) 生成的广义 Fibonacci 数列。

最后别忘了，刚才我们说过， φ 和 φ’ 是方程 1 + x = x²的两根，因而数列

1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, φ⁶, …

和

1, φ’, φ’², φ’³, φ’⁴, φ’⁵, φ’⁶, …

就成了两个非常特别的广义 Fibonacci 数列。

把上面三点结合起来，我们将会得出结论：一切广义 Fibonacci 数列都可以表示成

k + l, k · φ + l · φ’, k · φ²+ l · φ’², k · φ³+ l · φ’³, k · φ⁴+ l · φ’⁴, k · φ⁵+ l · φ’⁵, …

的形式，其中 k 和 l 是两个适当的常数。例如，为了把经典的 Fibonacci 数列

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

表示成刚才那种形式，我们只需要找出合适的 k 和 l ，使得它们同时满足

k + l = 1, k · φ + l · φ’ = 1

这两个方程。解得 k = φ / √5, l = – φ’ / √5，因而 Fibonacci 数列实际上就是

(φ / √5) – (φ’ / √5), (φ / √5) · φ – (φ’ / √5) · φ’, (φ / √5) · φ²– (φ’ / √5) · φ’², (φ / √5) · φ³– (φ’ / √5) · φ’³, …

或者干脆写作

(φ – φ’) / √5, (φ²– φ’²) / √5, (φ³– φ’³) / √5, (φ⁴– φ’⁴) / √5, …

这正是 Fibonacci 数列的通项公式。类似地，为了求出广义 Fibonacci 数列

20, -13, 7, -6, 1, -5, -4, -9, -13, -22, …

的通项公式，我们只需要求解关于 k 和 l 的二元一次方程组

k + l = 20, k · φ + l · φ’ = -13

解得 k = 10 – 23 / √5, l = 10 + 23 / √5，因而该数列其实就是

(10 – 23 / √5) + (10 + 23 / √5), (10 – 23 / √5) · φ + (10 + 23 / √5) · φ’, (10 – 23 / √5) · φ²+ (10 + 23 / √5) · φ’², (10 – 23 / √5) · φ³+ (10 + 23 / √5) · φ’³, …

注意， φ 是一个绝对值大于 1 的数， φ’ 是一个绝对值小于 1 的数，因而随着 n 的增加， φⁿ很快便会变得非常非常大，同时 φ’ⁿ也会很快变得非常非常接近于 0 。因此，就算 k 的绝对值再小，就算 l 的绝对值再大， k · φⁿ+ l · φ’ⁿ的值也会很快变得和 k · φⁿ几乎相同，相邻两项之比基本上就相当于是 k · φⁿ⁺¹和 k · φⁿ之比，自然也就等于 φ 了。除非……除非 k 等于 0 ！因此，广义 Fibonacci 数列的相邻两项之比不趋于 φ 的情况仅此一种，此时整个数列实际上为：

l, l · φ’, l · φ’², l · φ’³, l · φ’⁴, l · φ’⁵, …

最近在 reddit 上看到了这个帖子，网友 Gro-Tsen 的回复让人有醍醐灌顶之感，故写此文记之。