1987年高考数学真题，求参数的取值范围，不少同学直接放弃

一元二次不等式是高中数学中非常重要的知识点，从高一到高三再到高考都是必须掌握的知识点。本文和大家分享一道1987年高考数学中关于一元二次不等式的真题，题目如下图。这道题的难度还是比较大的，不少同学看到题目后甚至直接放弃了。那么接下来我们一起来看一下这道题。

这道题是当年理工农医类数学卷的第五题(共八题)。从形式上看，本题确实比较复杂，综合考查了一元二次不等式的恒成立以及对数的计算，但是实质还是恒成立问题。对于一元二次不等式的恒成立问题，我们先来看一道简单的题来整理解题思路：当x为任意实数时，ax^2+x+1＞0恒成立，求a的取值范围？

首先，上面这道题二次项的系数含有参数，所以可以对系数进行讨论：系数为0和系数不为0两种情况。

当系数为0时，原不等式就变为x+1＞0，很明显不可能在x为任意实数时都成立。

当系数不为0时，原不等式才是一元二次不等式，此时可以通过二次函数图像的性质求解。不等式恒大于0，也就相当于对应二次函数的图像全部在x轴的上方，那么显然只有二次项系数为正且判别式小于零才满足。

回到这道高考题。同样应该有二次项的系数大于0且判别式△小于零，这样就可以得到两个关于a的不等式。

另外，原不等式中二次项系数、一次项系数、常数项都是对数，所以还必须满足对数的真数大于0的要求。观察后可以发现，影响三个对数的真数正负的都是(a+1)/a的值，所以不需要每个真数都列式计算，只需计算一个另外两个也就满足了。

下面需要解出这个关于a的不等式组，求解的难点在③号不等式，主要是形式比较复杂，所以可以考虑用换元法进行简化。

令t=log2[2a/(a+1)]，那么根据对数的运算规则可以得到：log2[4(a+1)/a]=log2(8)+log2[(a+1)/2a]=3-t；log2[(a+1)^2/4a^2]=-2t。那么③可以变形为：

t^2-(3-t)(-2t)＜0，整理得：t(6-t)＜0，解得t＞6或t＜0。

再解②。②变形后为3-t＞0，解得t＜3。综合上面t的范围，得到t的最终范围，即t＜0。

所以log2[2a/(a+1)]＜0，即2a/(a+1)＞1，解得-1＜a＜1。

最后再解①。即(a+1)/a＞0，解得a＞0或a＜-1。

综合上面a的范围，得到a最终的取值范围，即0＜a＜1。

完整过程见下图：

这道题的难度确实不小，不少同学能够看出是考查一元二次不等式的恒成立问题，但是在解第三个不等式时显得无能为力，这也是本题的一大难点。