求三角形的面积，多数人找不到解题思路，关键是构造相似三角形

各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”给大家讲解一道初中数学中有一些难度的几何综合题，这道题目中给出的条件比较多，但似乎与要求的三角形面积这个问题关系不大，在做题时需要仔细考虑如何有效利用给出的条件，以便找到解题思路。此题考查了三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，在△ABC中，已知∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：要求△ABC的面积，必须三角形的一组底和高，根据∠BAC=60°，AB=2AC，可以推出△ABC是直角三角形，那么只要求出AB或AC的长，即可解决问题。题中给出了PA=√3，PB=5，PC=2，所以必须想办法进行转化。

如图，可以构造△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，于是得到了一组相似三角形，根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值。再根据相关角之间的关系求得∠QAP=60°，可以得到△APQ也为直角三角形。根据勾股定理逆定理，得出△BQP为直角三角形。再利用勾股定理求得AB的平方，利用正弦定理与三角形的面积计算公式，即可求得△ABC的面积。

解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，

则△ABQ∽△ACP．

∵AB=2AC，PC=2，PA=√3，

∴△ABQ与△ACP相似比为2，

∴AQ=2AP=2√3，BQ=2CP=4，

∵∠QAB=∠PAC，∠BAC=60°，

∴∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．

由AQ：AP=2：1，∠QAP=60°，

（过Q作PA的垂线，证明垂足就是点P即可，过程略）

可以推出∠APQ=90°，

在三角形APQ中，PA=√3，

由勾股定理得PQ=√3AP=3，

∵BQ=4，PQ=3，PB=5，

∴BP^2=BQ^2+PQ^2，

∴∠BQP=90°，（勾股定理逆定理）

过点A作AM∥PQ，交BQ的延长线于点M，

则四边形AMQP是矩形，

∴AM=PQ，MQ=AP，

∴AB^2=AM^2+BM^2

=PQ^2+（AP+BQ）^2

=28+8√3，

根据∠BAC=60°，AB=2AC，

（过B作AC的垂线，证明垂足就是点C即可，过程略）

可以推出△ABC是直角三角形，

∴S△ABC=1/2·AC·BC

=1/2·AB/2·ABsin60°

=√3/8·AB^2

=3+7√3/2，

即△ABC的面积是3+7√3/2.

（完毕）

这道题考查了三角形面积的计算、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定与性质等知识。解决本题的关键是构造相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理求得AB的平方值。