自然数e指数的由来及定义

我们都知道圆周率π=3.1415926的由来，定义为圆周长除以直径。而自然数e指数从何而来呢，为什么要定义一个复杂的数e=2.71828？其实，表面的复杂是为了本质的简单。

一个现实的问题，“一个物理量相对自身的变化只与时间有关”。这个写成微观形式，就是简单的ds/s=dt。我们稍微整理变动为ds/dt=s，从数学上看，就是“一个函数的导数是其自身。”这显然是一个指数函数，只要找到一个合适的指数底e，就能有s=e^t这个函数的导数是其自身。

我们根据导数的定义，去求解e^t对t的导数。这里，ds/dt=(e^(t+Δt)- e^t)/ Δt=e^t*(e^Δt-1)/ Δt。 显然，只要让e^Δt=1+Δt，就能得到导数是其自身。

这里的Δt是趋于0的无穷小量。如果定义e=(1+Δt)^(1/Δt)，那么仅根据指数的乘方运算，就会有e^Δt=((1+Δt)^(1/Δt))^ Δt=(1+Δt)^( Δt /Δt)= 1+Δt。这里e的数学含义就是“1+无穷小，然后再无穷大次方”。

这就等效于一个很大很大的正整数n，使得(1+1/n)^n=e。显然，这个数随着n的增大而增大，但存在极限，这个极限就定义为e，并且有2<e<3。当n取值10000时，e=2.718。这个数学证明有点复杂，在此不详述。

曾经看到一个简单的比方。你在银行的存款本金是1，年利息率是100%。那么，一年后，你的本金就变为2。如果你要求复利，半年结算一次，那么一年后就是（1+1/2）^2=2.25；如果你要求每季度结算一次，那么就是（1+1/4）^4=2.44。若是每月结算一次，就有（1+1/12）^12=2.61。显然，结算次数越多，由于复利导致的总收益就会越大。按每天结算一次（1+1/365）^365=2.715。直到最大极限就是e=2.71828倍。

有了自然数e的定义，很多事情就变简单了。比方说，我们有了一个n阶导数都是其自身的e^x指数函数，并且复杂的对数函数lnx的导数也变为简单的1/x。还有，就是金融学的终值现金流的折现。比方说，市场利率是年5%，剩余期限四年半的100元债券折现价格就是简单的100*e^(-r*T)=100*e^(-0.05*4.5)=79.85元。

根据e的定义及导数的定义求y=lnx导数。这里，dy/dx=(ln(x+Δx)-lnx)/ Δx=(1/Δx)*ln((x+Δx)/x)=ln((1+Δx/x)^(1/Δx))。由于Δx是趋于0的无穷小，所以Δx/x是无穷小，x/Δx就是无穷大。那么，y’=(1/x)*ln((1+Δx/x)^(x/Δx))= (1/x)* lne=1/x。