趣题：平均要取到第几个随机数才会让序列第一次下降

考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

答案：记 P_i为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P₁+ 2 * P₂+ 3 * P₃+ 4 * P₄+ … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

P₁+ 2 * P₂+ 3 * P₃+ 4 * P₄+ …

= (P₁+ P₂+ P₃+ …) + (P₂+ P₃+ …) + (P₃+ …) + …

= P(取数次数≥1) + P(取数次数≥2) + P(取数次数≥3) + …

显然，取数次数是一定大于等于 1 的。事实上，取数次数也是一定大于等于 2 的。要想取到第 3 个数，则前面两个数必须是递增的，其概率是 1/2 ；取数次数达到了 4 次或者更多，当且仅当前三个数是递增的，其概率为 1/3! = 1/6 ⋯⋯因此，本题的答案为：

1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

没错，这个问题的答案竟然是 e 。

题目来源：Mind Your Decisions

大家有兴趣的话可以看看我之前发过的一个类似的题目，这两个问题似乎是有一腿。