There is always a bigger fish

Always A Bigger Fish(http://tvtropes.org/pmwiki/pmwiki.php/Main/AlwaysABiggerFish)不但是电影情节中的经典桥段，也是各种恶搞的灵感来源——小鱼总是被大鱼吃掉，而大鱼上面总还有更大的鱼。久而久之，聪明的大鱼或许就不会去吃小鱼了，否则按照传统剧情，它身后会出现一条更大的鱼。一个有趣的问题出现了：倘若所有的鱼都是理性的，那会出现怎样的情况呢？

让我们把问题重新叙述一下。假设有 n 条鱼，它们从小到大依次编号为 1, 2, …, n 。我们规定，吃鱼必须要严格按顺序执行。也就是说，大鱼只能吃比自己小一级的鱼，不能越级吃更小的鱼；并且只有等到第 i 条鱼吃了第 i – 1 条鱼后，第 i + 1 条鱼才能吃第 i 条鱼。第 1 条鱼则啥都不能吃，只有被吃的份儿。我们假设，如果有小鱼吃的话，大鱼肯定不会放过；但是，保全性命的优先级显然更高，在吃小鱼之前，大鱼得先保证自己不会被吃掉才行。假设每条鱼都是无限聪明的（并且它们也都知道这一点，并且它们也都知道它们知道这一点⋯⋯），那么第 1 条鱼能存活下来吗？

答案或许有些出人意料：当 n 是奇数时，第 1 条鱼将会存活下来；当 n 是偶数时，第 2 条鱼将会吃掉第 1 条鱼。为了证明这一点，让我们来考虑一些简单的情况。当 n = 1 时，第 1 条鱼显然活得自由自在；当 n = 2 时，第 2 条鱼将会吃掉第 1 条鱼，因为第 2 条鱼是无敌的，它不用担心自己会被吃掉。当 n = 3 时，第 2 条鱼不能吃第 1 条鱼，否则情况将化为 n = 2 的情形，它将会被第 3 条鱼吃掉。有趣的事情发生在 n = 4 的时候，此时第 2 条鱼可以大胆地吃掉第 1 条鱼，因为根据前面的结论，它知道第 3 条鱼是不会吃它的⋯⋯以此类推，当 n 是奇数时，这 n 条鱼将会和平相处；当 n 是偶数时，第 1 条鱼将会被第 2 条鱼吃掉，情况就化为了 n 为奇数时的稳定状态。