趣题1212

时间：12-12来源：作者：点击数：

推理：

1. 老王熬夜工作到凌晨 2 点多时，实在不行了，倒在床上就开始呼呼大睡。睡觉前他看了一下闹钟，发现了一件有趣的事情——时钟上的时针和分针正好重合在了一起。早晨 8 点多时，老王被闹钟闹醒。他看了一下闹钟，又发现了一件有意思的事——此时时钟上的时针和分针正好指向完全相反的方向。老王究竟睡了多久呢？不足 6 个小时， 6 个多小时，还是正好 6 个小时？

2. 小 A 、小 B 和小 C 竞选推理协会的会长，有 99 个人参与了投票（当然，三位候选人是不能参与投票的）。唱票后，三位候选人惊奇地发现，每个人各得了 33 票。为了分出胜负，小 A 提议，每个投票人都选出自己心目中的“第二人选”。巧合的是，第二轮投票之后，三个人又是各得 33 票。接下来该怎么办呢？小 A 注意到了投票的人数是奇数，于是想到了一个一定能决出胜负的投票方案：所有投票人先在小 B 和小 C 当中进行投票，获胜者再和小 A 进行 PK 。这时，小 B 突然站出来反对：这种方案是不公平的，这对小 A 明显更有利一些。小 B 的说法对吗？

计算：

1. 周长相等的正三角形和正六边形，面积之比是多少？

2. 平面上有 n 个红点和 n 个蓝点，你需要把它们一红一蓝地配成 n 对，并用线段把每一对点连接起来。证明，总存在一种配对方案，使得所有连线都不交叉。

填图：

1. 把图中的棋盘划分为一个一个的矩形，使得每个矩形中恰好包含一个数字，而这个数字恰好等于这个矩形中的小方格数。

2. 把 1 到 9 这九个数字填入方格中，使得每行三个数之和等于这一行右边的数，每列三个数之和等于这一列下方的数。

推理：

答案：正好 6 个小时。在这 6 个小时里，时针转了一个半圈，分针转了 6 个整圈，因此两针正好指向了相反的方向。

答案：小 B 是对的——在新的方案下，小 A 将必胜！为了说明这一点，我们把投票人的偏好分成六类：

(1) A > B > C

(2) A > C > B

(3) B > A > C

(4) B > C > A

(5) C > A > B

(6) C > B > A

由于第一轮投票是平局，因此 (1) (2) 的总人数、 (3) (4) 的总人数、 (5) (6) 的总人数各占 1/3 。也就是说，如果要在小 B 和小 C 之间进行 PK 的话，就全看 (1) 和 (2) 的人数谁多谁少了。不妨假设 (1) 的人数比 (2) 多（这样的话小 B 将在 PK 中获胜，并与小 A 对决），那么 (4) 的人数就一定比 (3) 多，否则 (2) (4) 的总人数将不足 1/3 ，小 C 不可能在第二轮投票中与小 A 和小 B 战平。类似地， (5) 的人数就一定比 (6) 多，否则 (3) (5) 的总人数将不足 1/3 ，小 A 不可能在第二轮投票中与小 B 、小 C 战平。既然 (5) 的人数比 (6) 多，那么在小 A 和小 B 之间进行最后的角逐，小 A 一定会获胜。

对于 (2) 的人数比 (1) 多的情况，类似的分析可以推出同样的结果来。

计算：

1. 周长相等的正三角形和正六边形，面积之比是多少？

答案：把它们都剖分成完全相同的小正三角形，很快就能看出它们的面积比是 2:3 。

答案：考虑所有可能的配对方案，选择所有连线的长度总和最小的那一种方案。下面我们证明，这种方案是满足要求的。假如在这种方案中有某四个点 A 、 B 、 C 、 D ，其中红点 A 和蓝点 B 相连，红点 C 和蓝点 D 相连，两条连线交于点 O 。那么，把它们改成 A 与 D 相连， B 与 C 相连，则由三角形两边之和大于第三边， AB + CD = (AO + DO) + (BO + CO) > AD + BC，说明连线的总长度变得更短了，由此产生矛盾。