e的近似表达：一个令人惊讶的数字游戏

刚才看到这个很漂亮的无理数 e 的近似表达，它恰好用到了 1 到 9 这 9 个数字。

猜猜看它能精确到 e 的小数点后多少位？ 10 位？ 100 位？ 1000 位？ 10000 位？

远比想象中的牛 B —— 它能精确到小数点后 18, 457, 734, 525, 360, 901, 453, 873, 570 位！显然，这绝对不是一个巧合。它的秘密就在于， e 事实上等于 lim(n→∞) (1 + 1/n)^n ，而 9^(4^(7·6)) 恰好就等于 3^(2^85) 。这个指数相当大， Mathematica 直接就报 Overflow 了，难怪它能精确到 e 的小数点后那么多位。

据说，这个神一般的近似表达最早来源于这里。