用选择公理来预测未来

承认选择公理可能给我们带来很多有悖于直觉的结论。最著名的例子可谓 Banach-Tarski 悖论了：你可以把一个三维的实心球分成有限多块，通过刚体移动把它变成两个和原来一模一样的球。介绍过另外一个有趣的结论，它违背常理的程度也不亚于 Banach-Tarski 悖论。今天，我给大家看一个比这些悖论更加荒唐的结论：利用选择公理，我们可以实现预测未来！

在探讨这个话题之前，我们得先为“预测未来”建立一个合理的数学模型。我们假设，对于任一时刻，宇宙中的所有信息都可以编码为某个状态值，我们就把它叫做宇宙的一个“点状态”。宇宙中所有可能的点状态就组成了宇宙的“状态集合”。以数学的眼光看宇宙，一个宇宙也就无非是一个一元函数 f(t) 。它的定义域是整个时间轴 R ，它的值域是宇宙的状态集合，预测未来也就仅仅是根据已知的函数值来推测未知的函数值罢了。假设我们已经知道在区间 (-∞, t0) 上函数的所有取值，如果你能据此给出 f(t0) 的精确值，我们就说你成功地预测了 t0 时刻的宇宙状态。当然，仅凭借过去的信息你是不可能保证猜对 t0 时刻的点状态的，例如对于两个只在 t0 处有区别的宇宙，算法最多只能猜对其中一个宇宙在 t0 处的状态。但你相信吗，存在一个算法，使得我能正确预测几乎所有时间点的宇宙状态。换句话说，我能构造出这样一个算法，使得除了可数个点以外，给定任意一点以前的全部函数值，我都能套用该算法猜对该点的点状态。再换句话说，利用这个算法预测任意时刻的宇宙状态，成功的概率为 1 。

这个算法非常简单。注意到一个给定的函数 f(t) 就定义了一个宇宙，因此所有可能的函数 f(t) 就包含了所有可能的平行宇宙。这是一个大得难以置信的集合，即使两个宇宙间只有某一个时刻的点状态有细微的区别，我们都把它们视为两个不同的平行宇宙。由于选择公理与良序定理等价，因此，我可以给所有可能的平行宇宙排出一个次序来。如果平行宇宙 A 排在平行宇宙 B 的前面，我们就说 A 比 B 更靠前一些， B 则比 A 靠后一些。

从这个角度来说，预测未来实质上就是，当你观察到 t0 以前的所有函数值之后，你需要从所有平行宇宙中筛选出 t0 以前的函数值跟已知数据一模一样的那些宇宙，再从这些候选宇宙中选出一个，断定这个宇宙就是我们现在所处的宇宙，并宣称 t0 时刻的点状态就是这个宇宙在 t0 时的点状态。而我们预测未来的算法就只有简单的一句话：总是从候选宇宙中选择次序最靠前的那一个宇宙。

下面我们证明，用这个算法预测点状态，只会在可数个时间点上失败。为此，我们只需要说明那些预测会失败的时刻所组成的集合是一个通常序下的良序集。反证，假设这些失策时刻所组成的集合可以形成一个没有最小元素的链 t1 > t2 > t3 > … 。不妨把算法在预测 t1 时所选择的宇宙记作 A ，把算法在预测 t2 时选择的宇宙记为 B 。由于算法对 t2 的预测是错误的，即宇宙 B 在 t2 时刻的点状态与实际宇宙在 t2 时的点状态不符；因此，所有在 (-∞, t2] 的函数值与实际宇宙相符的宇宙都比 B 更靠后。而算法对 t1 的预测是基于正确的 t2 点状态的，也就是说 A 在 (-∞, t2] 是符合实际宇宙的，因此 A 比 B 更靠后些。同理， t2 的预测又比 t3 的预测靠后， t3 的预测又比 t4 的预测靠后，因此我们能够找出一系列平行宇宙，它在平行宇宙的顺序中一个比一个更靠前，形成一个无穷长的链。这与平行宇宙次序是良序的矛盾。这就证明了，预测会失效的那些时间点组成的是一个通常序下的良序集。而通常序下的良序集显然是可数的，因此预测失败的概率为 0 。

这个结论确实是有悖于常理的——我们怎么可能仅根据以前的函数值就能保证推出目标点的函数值呢？但是，从另一个角度理解算法的本质，这一反直觉的事实便有了一个合理的解释。如果我们用复杂程度来解释平行宇宙构成的良序集，即宇宙 A 排在宇宙 B 前面就说明宇宙 A 比宇宙 B 更“简单”，更有规律。那么，根据 Occam 剃刀原理，在所有 (-∞, t0) 与观察到的数据相符的宇宙中，最简单的那个最有可能是真实的情况，它在 t0 时刻的点状态就是我们所作出的预测。

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