趣题：某个经典结论的妙用

空间中有六个点，它们两两间的距离都互不相等。考虑所有以这些点为顶点构成的三角形。证明：存在某个三角形，它的最长边是另外某个三角形中的最短边。

这个结论并不是显然的。为了说明这一点，只需要注意到同样的结论对n=5的情况是不成立的。考虑平面上一个正五边形的五个顶点（微调它们的位置使得两两间的距离互不相等），容易发现任意三个点所组成的三角形，其最长边都不可能是另一个三角形的最短边。

证明：考虑以这些点为顶点的全体三角形。依次把每一个三角形的最短边染成红色。这样下来，某些线段被染了好几次红色，某些线段自始至终从未被染色。把那些没有染色的线段染成蓝色。由一个经典的结论我们知道，把六个点两两间的所有连线进行红蓝二染色，则总能找到这样一个三角形，它的三条边都是红色或者都是蓝色。但在我们这里的构造中，不可能有哪个三角形三条边都是蓝色的，因为每个三角形中都有一条最短边，根据构造它已经被我们染成红色了。因此，在我们的染色构造中存在一个全是红色边的三角形。这个三角形就是满足题意的三角形——它有一条最长边，并且由于它是红色的，它一定是另外某个三角形的最短边。

附上面那个经典结论的证明：任意选一个顶点P，和它相邻的有五条边，由鸽笼原理，至少有三条边是一种颜色。无妨假设PA、PB、PC都是红色。现在，如果AB、BC、AC这三条边中有一条也是红色的话，我们就立即得到了三条边都是红色的三角形；如果AB、BC、AC这三条边都不是红色，那ABC本身就是三边均为蓝色的三角形了。这就证明了我们的结论。

来源：http://www.cut-the-knot.org/proofs/ShortestIsLongest.shtml