经典证明：任何可数集都含有不可数个嵌套子集

你相信吗？对于任意一个可数集，总能找出不可数个子集，使得从中任取两个集合，其中一个都是另一个的真子集。乍看之下，这似乎是不可能的。如果任两个集合之间都具有“其中一个是另一个的真子集”的关系，那它们就能构成一个“集合序列”（准确地说是全序关系），使得每个集合都是由它前面那个集合添加进若干元素得到；换句话说，我们能通过不断往一个空集中添加新的元素依次得到所有这些集合。但是如果这些集合中的元素就只有可数个，那这个“集合序列”中怎么会有不可数个集合呢？然而，涉及到无穷的问题总是那样违背直觉。下面我们只用三行字就能说明，这个命题的的确确是成立的。

由于可数集与可数集之间总存在一一对应的关系，为了证明原命题，我们只需要说明命题对某个特定的可数集成立即可。对于全体有理数集Q来说，该命题是成立的。对每一个实数r，令集合S_r = {q|q∈Q且q<r}。根据这个定义，我们得到了不可数个形如S_r的集合，显然从中任取两个集合，其中一个都是另一个的真子集。

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