把[0,2]分割为可数个部分 然后拼成全体实数集R

Banach-Tarski悖论指出，你可以把一个三维球体分割成有限多份，然后拼合成两个和原来一模一样的球体。这个构造是Stefan Banach和Alfred Tarski在1924年发表的论文中给出的，不过我还从来没有完整地瞻仰过这个牛B的构造过程。今天我看到了一个Banach-Tarski悖论的弱化版，但它的反直觉性绝对不亚于Banach-Tarski悖论。通过这个弱化的结论，你或许会对Banach和Tarski的构造方法有了更多的理解。

下面我将会给出这样一个神奇的构造：取出[0,2]的一个子集S，把它分割为可数个不相交的点集，对每个点集各自进行适当的平移后，可以让它们的并集变为全体实数集。

对于[0,1]里的任意两个实数x和y，如果x-y是一个有理数，我们就把它归为一类。这样，我们就把[0,1]中的所有数分为了不可数个等价类，每个等价类里的元素个数都是可数的。下面，从每个等价类中选择一个代表元，构成一个集合X（注意：实现这一步需要用到选择公理——你不知道该怎么构造这个集合，但这个集合的确是存在的）。

我们用X+a来表示把集合X中的每个元素都加a（即把集合X在数轴上平移a个单位）。由于集合X中的任意两个元素都不在同一等价类里，因此取遍所有的有理数q，得到的X+q都是互不相交的。如果限定q只取[0,1]里的有理数，那么我们就得到了可数个形如X+q的点集，它们的交集为空。把它们的并集记为S，容易看出S是[0,2]的一个子集，并且它由可数个不相交集组成。注意，[0,1]中的有理数和全体有理数都是可数的，因此存在一个一一映射的函数q→f(q)，它把[0,1]中的有理数映射到全体有理数上。然后，我们把集合S中的每个X+q都平移到X+f(q)。这些平移后的点集就组成了整个实数集，因为任何一个实数都对应了某个等价类，而集合X包含了所有等价类的代表元，f(q)又遍历了所有的有理数，因此每一个实数都一定在某个X+f(q)里。

来源：http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/121.1.00s/tarski.html