趣题：以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点？

由于勾股数组有无穷多个，因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如，(3,4,5)是一组勾股数，因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍，则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点；将这个圆的圆心平移至一个有理点，则同样地，原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论：在平面直角坐标系内，任意一个以有理点为圆心，有理数为半径的圆周上总存在无穷多个有理点。我们不由得想到这样一个有趣的问题：如果一个圆的圆心是无理点（两个坐标中至少有一个不是有理数），那么圆周上的有理点个数还可能是无穷多个吗？若不是的话，最多能有多少个？

一个圆心位于无理点上的圆，其圆周上最多有2个有理点，例如圆心在(0,√3)，半径为2的圆将经过(1,0)和(-1,0)。但是，你绝对不可能构造出某个圆心为无理点的圆，它的圆周经过了两个以上的有理点。为了证明这一点，我们先来复习一下下面这些基本常识：

1. 两个有理点的连线所在直线的方程一定是一个有理系数方程；

2. 两个有理点的连线的中点也是一个有理点；

3. 与斜率为α的直线垂直的直线，斜率为-1/α，两个斜率值要么同为有理数，要么同为无理数；

4. 两个有理系数方程的公共解也一定是一个有理数。

结合前面三点，我们立即可知，两个有理点的连线的垂直平分线，其对应的方程也一定是一个有理系数方程。现在假设我们的圆周上有三个有理点A、B、C。做出AB的垂直平分线，做出BC的垂直平分线，两条垂直平分线将交于圆心。但是，由上述第四条我们知道，这个交点一定是一个有理点，与题目的前提条件矛盾。

来源：http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/RationalPointsOnCircle.shtml