趣题：连续函数上的水平线段

连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。

这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。

我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。

我们先来看这么一个引理：如果在某个连续函数上不存在长为a的横线段，也不存在长为b的横线段，那么长度为a+b的横线段也是不可能存在的。为了证明这一点，只需要意识到：f(x)上存在一条长为a的横线段，当且仅当把f(x)向左（或向右）平移a个单位后，新的曲线与原来的曲线有交点。由于f(x)上不存在长为a的横线段，因此将f(x)右移a个单位后，新的曲线（图中的紫色曲线）与f(x)没有交点；类似地，将f(x)左移b个单位后，得到的绿色曲线与原曲线也没有交点。于是，绿色曲线和紫色曲线也不可能有交点，因为它俩被中间的那条蓝色曲线f(x)隔开了。而绿色曲线和紫色曲线相距a+b个单位。这就告诉我们，长为a+b的横线段也是不存在的。

现在，假如长为1/n的横线段不存在，我们立即推出长为2/n的横线段也不存在。我们进一步推出，长为3/n的横线段也不存在。依此类推，直至我们得出长为n/n = 1的横线段不存在，但这明显是错误的。

那么，对于长度值为其它数的情况呢？有趣的是，除了这些正整数的倒数以外，对于其余的任意一个长度值L，我们都能给出一个满足f(0)=0且f(1)=0但不含有长为L的横线段的连续函数。事实上，这个函数是。例如，函数就不含有长度为0.3的横线段。把该曲线向右平移0.3个单位，它与原曲线没有任何交点。

我们可以由下面的推导看出，把这个函数水平平移0.3个单位实质上相当于是竖直平移了常数个单位，这就证明了平移前后的两条曲线的确没有交点。

那么，为什么当L等于某个正整数的倒数时，上面的函数就不管用了呢？关键就在于，如果L是一个正整数的倒数，上面的推导中最后的那个常数就不是非零常数了。