碰到的几个有趣的问题

最近几天见到了几道零散的、不成系统的趣题，在这里合成一篇文章，与大家分享。

1. 证明：对任意正整数n，n^2+n+1一定不是完全平方数。

2. 说一个实数是可表达的，当且仅当它能用有限长的语句明确地描述出来，如2147483648可以说成是“二的三十一次方”，√2即为“平方后等于二的正实数”，π即为“圆的周长和直径之比”。问题是，是否存在一个不可表达的实数？

3. 一个人有两个小孩儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

4. 无需积分，计算。

1. 证明：对任意正整数n，n^2+n+1一定不是完全平方数。

答案：n^2+n+1大于n^2而小于(n+1)^2，位于两个相邻平方数之间，显然不可能是一个完全平方数。

2. 说一个实数是可表达的，当且仅当它能用有限长的语句明确地描述出来，如2147483648可以说成是“二的三十一次方”，√2即为“平方后等于二的正实数”，π即为“圆的周长和直径之比”。问题是，是否存在一个不可表达的实数？

答案：存在。因为有限长的字符串是可数的（按字符串的长度排序，长度相同则按字典序排），但实数集是不可数的。有趣的是，这个问题的证明一定是非构造性的。

3. 一个人有两个小孩儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

答案：13/27。这是“已知有一个男孩儿，问另一个是男孩儿的概率”的加强版，是一个非常精彩的条件概率问题。它非常直观地告诉我们，事先提供更准确的信息能给概率带来怎样的变化。另一个有趣的问题见这里。

4. 无需积分，计算。

答案：显然。但是，我们有

于是立即可知，。