趣题：构造骰子使其与两个标准骰子等价

今天下午在上语言统计分析课时，我听到了一个非常有趣的问题。考虑同时抛掷两个骰子所得到的结果——它们的和有1/36的概率得到2，有2/36的概率得到3，……，有1/36的概率得到12。现在，你能否构造两个新的骰子，使得同时抛掷两个新骰子的结果与原来相同？注意，每个骰子都有6个面，每个面都有一个正整数。这些点数可能超过6，并且可能会有重复。另外，这两个骰子也无需完全相同。

解决这个问题并不难。首先注意到，为了使得两个骰子的点数之和能够得达到2，每个骰子上都得有一个“1”（并且仅有一个“1”）才行。接下来考虑，为了得到两种和为3点的情况，我们还得在两个骰子上放置两个“2”：我们可以在每个骰子上各放一个“2”，不过这样就与原来的骰子没啥区别了；我们也可以来点不一样的，把两个“2”都放在一个骰子上。现在，其中一个骰子上只放了一个“1”，另外一个骰子已经填了一个“1”和两个“2”，这可以保证它们能产生出一个2点和两个3点。再下一步，我们将考虑如何产生出三个4点。为此，我们需要把三个“3”分配到两个骰子中。这样推下去虽然越来越麻烦，但最终你还是能得到一个合法解：一个骰子上写有1、2、2、3、3、4，另一个骰子上写有1、3、4、5、6、8。不过，这个问题有一个异常巧妙的解法，它能够把两个骰子的点数进行整体求解。你能想到这个做法吗？

考虑多项式x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6的平方，展开后即为x^2 + 2·x^3 + 3·x^4 + 4·x^5 + 5·x^6 + 6·x^7 + 5·x^8 + 4·x^9 + 3·x^10 + 2·x^11 + x^12。仔细观察多项式展开与合并同类项的过程，你会立即发现，上面的多项式运算精确地表达出了投掷两个标准骰子能够产生的结果——一个2，两个3，三个4，四个5，……，两个11，一个12。为了找到两个与原来等价的新骰子，我们只需要找到两个项数为6、系数为正整数的多项式，使得它们的乘积也等于x^2 + 2·x^3 + 3·x^4 + … + 2·x^11 + x^12即可。注意到x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6既可以分解成(x + x^2)(1 + x^2 + x^4)，又可以分解成(x + x^4)(1 + x + x^2)。为了得到一种与原骰子不同的方案，我们只需要让前面那个二项式乘以后面那个三项式，再让前面那个三项式乘以后面那个二项式（保证仍然产生六个项）。由于(x + x^2)(1 + x + x^2)等于x + 2·x^2 + 2·x^3 + x^4，并且(x + x^4)(1 + x^2 + x^4)=x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8，我们立即得到了一个合法解：一个骰子上填一个“1”、两个“2”、两个“3”和一个“4”，另一个骰子上写有“1”、“3”、“4”、“5”、“6”、“8”各一个。事实上，不同的因式分解和组合可以得到更多的方案，只是这些方案不一定能产生系数为正整数的、恰有6项的两个多项式。