勾股定理的两个物理证明

说勾股定理是一切科学的基础恐怕一点也不夸张。一些最基本的物理定律就与勾股定理之间产生了完美的对应。在我初三学到动能的公式时，我就想到，动能与速度的平方成正比是有内在原因的，这正是由数理科学中最基本的定理——勾股定理——决定的。考虑一个质量为1的物体向正北方向运动，如果它的速度为a，那么所需要的能量就是(a^2)/2；类似地，让同一个物体以b的速度向正东方向运动，所需要的能量应该为(b^2)/2。如果把这两个力叠加在一起，我们就得到了这样一个事实：用(a^2)/2 + (b^2)/2的能量可以让物体往大致东北的方向运动，其速度正好就是一个以a和b为边的矩形的对角线长。因此，(a^2)/2 + (b^2)/2正好也就是对角线长度的平方的一半，这恰好与勾股定理的内容一致。可以说，我们用数学定理验证了一个物理定律；也可以说，我们用物理定律证明了一个数学定理。

让我们来看另外一个更巧妙的例子：考虑一个底面为直角三角形的棱柱形盒子，其中一个锐角顶点（所对应的棱）固定在一根转轴上，因此整个盒子可以绕转轴转动。在盒子里面倒满水。在没有外力作用的情况下，这个盒子会绕着转轴自己转动吗？显然不会。这表明，盒子中的水对三个竖直表面的水压所产生的力矩是平衡的。每个面的压力大小都和直角三角形的对应边长成正比，它到转轴的距离也正好是每条边的长度的一半。两个直角边上的水压把棱柱往顺时针方向推，斜边上的水压则把棱柱往逆时针方向推。这样，前两个力矩应该与后一个力矩平衡，即(a^2)/2 + (b^2)/2 = (c^2)/2。（补充一下：a、b、c分别表示直角三角形的三边长）

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