趣题：用松了的圆规作给定一端点的指定长度线段

《几何原本》的命题1是“作以给定线段为边的等边三角形”，其做法也正如大家所料：以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆，交点C就是等边三角形的第三个顶点，于是连接AC和BC即可。《几何原本》的命题2则是一个看似更加简单的作图问题：给定点A和线段BC，作以A为其中一个端点的、长度等于BC的线段。我原以为《几何原本》的做法也和我们平常的做法一样——以A为端点向任意方向作一射线，再用圆规截取出和BC等长的线段。因此，每次在网上看到关于《几何原本》命题2时，我都会直接略过去。最近我才发现，《几何原本》中命题2的做法和大家想象的完全不一样，因为这种做法在《几何原本》中是不允许的。圆规只能用来作圆，不能用来度量和转移长度；换句话说，公设3中的“圆规”是一个“松”的圆规，一旦离开纸面后圆规的两脚便会“啪”的一声自动合拢。在这种条件下，你又如何实现上面提到的作图问题呢？

《几何原本》中的方法非常巧妙：首先，利用命题1作出等边三角形ABD。然后，以B为圆心，BC为半径作圆，交BD于E；然后，以D为圆心，DE为半径作圆，交AD于F。由等边三角形的定义，AD=BD；又由圆的定义，DF=DE；再由于等量减等量，于是AF就等于BE。再次利用圆的定义可知，BC也是等于BE的；最后由于“等于同量的两个量相等”，因此AF=BC，命题成立。