圆环面积公式与勾股定理

勾股定理有上百种证明，但其实它们都大同小异——无非是构造一组三角形和正方形并进行一系列变换。今天我看到了一个用圆面积来解释勾股定理的办法，颇有一些新意。

考虑直角三角形OAB绕着一个锐角顶点O旋转一周。顶点A的轨迹是一个半径为a的圆，顶点B的轨迹是一个半径为c的圆。那么，线段AB扫过的区域（一个圆环）的面积就应该是大圆面积减去小圆面积，即π(c^2-a^2)。如果我们能够有一种办法说明，线段AB扫过的面积正好是πb^2，我们就相当于得到了勾股定理的另一个证明。

利用微积分或许可以说明这一点，但这里有一个不算严格证明，但却非常直观有趣的想法。考虑线段AB扫过环形区域的过程，它事实上是由平移和旋转两部分叠加构成的——首先沿着圆的切线方向（即BA的方向）平移充分小的距离，然后旋转一个充分小的角度。但很显然，线段沿着自身的方向平移是不会产生面积的，因此线段AB实际扫过的面积就是它绕A点旋转一周的面积，即一个半径为b的圆。从图上看来这一点似乎很显然——上下两个图之间的粉色线条有“一一对应”的关系。这虽然不严密，却是一个很有意思的想法。

来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythFromRing.shtml