有限域的二次剩余与x^2+y^2=c的解的个数

上个月的UyHiP谜题涉及到一些抽象代数的东西：考虑一个有f个元素的有限域，其中c是有限域中的一个元素。试求x^2+y^2=c有多少个解。你的答案应该是一个关于f和c的函数。

有趣的是，对所有c≠0的情况，x^2+y^2=c的解的个数与c都是无关的。事实上，方程解的个数只与f模4的余数和c是否为零元有关。具体地说：

结论的证明并不复杂（并且很诡异），最关键的一点就是：有限域的乘法群是一个f-1阶循环群。在任一有限域F中必然存在一个“生成元”g，使得1、g、g^2、……、g^(f-2)正好就是F中的所有非零元素，反过来所有非零元也都能表示成g的某次幂。这样的话，要想知道c是否是一个二次剩余（是否存在x使得x^2=c），只需要把c写成g^i，然后看是否存在某个元素x=g^(i/2)，换句话说有没有哪个数的两倍模f-1正好就是i。当f是奇数时，i/2存在当且仅当i为偶数；当f为偶数时，每个元素都是一个二次剩余。

定义函数Χ(a)为x^2=a的解的个数减一（嗯，我知道，这个函数来得很诡异）。由于x^2=a是一个二次方程，因此它最多只有两个解，也即Χ(a)的取值只可能是-1、0和1。容易看出：

1. 对所有非零元a，Χ(a) = Χ(a^(-1))，其中a^(-1)表示a的乘法逆元。注意，g^i的乘法逆元就是g^(f-i-1)，它们相乘正好就是g^(f-1)=1。

2. 对任意a和b，Χ(a)Χ(b)=X(ab)。

3. Χ(0)=0，因为x^2=0明显只有x=0一个解。

4. 当f=4k+3时，Χ(-1)=-1；当f=2k时，Χ(-1)=0；当f=4k+1时，Χ(-1)=1。注意，-1是指乘法单位元的加法逆元，就是平方之后等于1的那个元素。当f=4k+3时，-1就是g^(2k+1)，它没有平方根；当f=4k+1时，-1就是g^(2k)，g^k和g^(3k)都是它的平方根；当f=2k时，1的加法逆元就是它本身，它的平方根也只有它本身。

5. ΣΧ(a)=0，其中a取遍有限域F中的所有元素。

现在我们来求x^2+y^2=c的解的个数，它应该等于：

Σ_a+b=c(Χ(a)+1)(Χ(b)+1)

= Σ_a+b=cΧ(ab) + Σ_aΧ(a) + Σ_bΧ(b) + f

= Σ_a+b=cΧ(ab) + f

= Σ_bΧ((c-b)b) + f

= Σ_b≠0Χ((c-b)b) + f

= Σ_b≠0Χ((c-b)/b) + f

= Σ_b≠0Χ(c/b – 1) + f

当c=0时，式子就直接变成了Σ_b≠0Χ(-1) + f = f + (f-1)Χ(-1)；

当c≠0时，函数m(b)=c/b正好就是一个F内所有非零元一一对应的函数，因此式子直接变为Σ_d≠0Χ(d-1) + f = Σ_d≠-1Χ(d) + f = f – Χ(-1)。而我们已经知道了Χ(-1)的值，问题迎刃而解。