从“迷失的8”到生成函数：小数展开的秘密

小学时经常在计算器上面按12345679这个神秘的8位数。这个数牛就牛在，它乘以9的结果正好等于111111111。你可以在计算器上输好12345679，然后问MM“你的幸运数字是多少”；如果她说“7”，你就在计算器上按“乘以63”，计算器上将会显示出清一色的7字，看上去无比壮观。

假如123456789×9=1111111111的话，我倒不会觉得奇怪。网上流行过一个火星帖子，写了一大堆诸如111111111 * 111111111 = 12345678987654321的式子来展示数学之美，以至于大家会认为123456789×9的结果也一定是一串很有规律的数字。因此，如果我不在这里说一句123456789×9其实并不等于1111111111的话，估计很多人都发现不了问题。事实上，123456789×9=1111111101，偏偏就差一个“1”。而怪就怪在，去掉被除数中的数字“8”，偏偏又有了12345679×9=111111111，一个极其别扭的算式反而得到了完美的结果。不要让你的直觉被数学之美所蒙蔽，数学上有大量出人意料的、看上去很不对称的结论。

为什么偏偏要少一个“8”呢？难道这真的是算术中的一个不可抹去的疤痕？我们急需要寻求一个解释，填补上算术中的这个不和谐的“漏洞”。一种解释是，我们看到了123456789×9=1111111101并不美观，想要对其进行改造，进而得到(123456789+1)*9 = 1111111101+9 = 1111111110，于是(123456789+1)*9/10 = 12345679*9 = 111111111。用这种办法的确可以解释“迷失的8”，不过这个解释并不漂亮。为了寻求一个更好的解释，我们来看一看111111111和9的关系。

或许大家都知道，利用等比数列求和，我们可以把任一循环小数还原为分数。111…11和9之间有一个非常精妙的联系：1/9 = 0.111… 。换句话说，1000000000/9取整之后就应该等于111111111。而这个神秘的12345679，就应该是1000000000/81取整后的结果了。1/81到底等于多少呢？拿精度稍微高一点的计算器一算，我们发现1/81 = 0.01234567901234… 。原来，12345679的秘密全在1/81里面，12345679*9=111111111其实相当于是拿1/81乘以9，取得了1/9的小数部分。

现在余留的问题就是，为什么1/81的前面几位是.012345679呢？仔细观察这个小数，你会发现整个小数的循环节就是012345679，偏偏就少一个“8”。这到底是为什么呢？

为了解释一种反常的数学现象，一个有趣的思路就是，“如果不是这样，你觉得又该是怎样呢？”理想中，这种有悖于数学之美的事情是不应该发生的，1/81要是等于0.01234567890123456789…就好了，或者更牛B一点的，有没有可能等于0.0123456789101112131415…？哦，这个好像太夸张了，后面这个小数明显是一个无限不循环小数，不可能和一个有理数相等。不过呢，Σn/10^(n+1)倒是有可能的。想到这一点，我们最初的谜题迎刃而解！

原来，“迷失的8”并不是一个算术上的瑕疵。或许1/81的小数部分本来就应该是123456789..，接下去的一个数应该是10，但它应该占据两个数的位置，而留给它的原本只有一个数位。于是乎，数字10中的个位“0”与“9”的后面一位对齐，而十位“1”则加到了“9”身上并产生了进位，得到了123456790的结果，产生了“迷失的8”这一错觉。而后，刚才10的个位“0”又加上了紧随其后的11的十位，11的个位又和12的十位拼成了“2”，如此反复，使得整个小数部分不断地重复012345679这一循环。

1/81=Σn/10^(n+1)这一猜测似乎很合理，究竟对不对呢？这和81又有什么关系呢？只需要注意到1/81=(1/9)*(1/9)，联想前面我们讲过的东西，我们就得到了一个虽然不严密但是颇有启发性的推理。111*111=12321，是因为111*111相当于把111错位写成三行后加起来；类似地，前面提到的极端情形111111111 * 111111111 = 12345678987654321也是如此。那么，如果10个1乘以10个1呢？如果无穷个“1”乘以无穷个“1”呢？当我们计算1/9的平方时，我们实际上在做的正是用无穷多个1去乘以无穷多个1，而乘式的第n+1列里恰有n个“1”，它们加起来并产生适当的进位后就得到了0.0123456790123… 。

循环小数与整数之间存在着许多微妙的关系。很多时候，利用小数展开我们能解决一些无从下手的算术题目。小学奥数中有一道题目我印象极深：一个位数小于30的、以“15”打头的整数，把这个“15”移到数的末尾后，新数正好是原数的5倍。问原数是多少。很少有人能想到，解开这道题的钥匙竟然是分数和小数。假设有某个小数x的循环节就等于我们要求的数，那么

可知100x-5x=15，解得x=15/95=3/19。把3/19还原成小数，发现它的循环节是157894736842105263，问题就如此简单的解决了。

且慢，我还准备了更加精彩的数学魔术！让我们来看一看下面这套把戏：

100/9899 = 0.0101020305081321345590463 …

牛B吧！两位两位的看，前面几个数正好形成Fibonacci数列！不过，再往后走，位数的限制迫使进位产生，打乱了原有的秩序。能让每个数的位数更长一些吗？能！请看：

1000/998999 = 0.001001002003005008013021034055089144233377610…

10000/99989999 = 0.000100010002000300050008001300210034005500890144…

100000/9999899999 = 0.00001000010000200003000050000800013000210003400055000890014400233…

这个就更加奇怪了。为什么一个简简单单的分数展开之后竟然出现了Fibonacci数列？其实，道理和前面所讲的很相似。100/9899显然是由100/(10000-100-1)得到的，让我们来看一下0.0101020305081321…乘以(10000-100-1)是否能还原成100：

可以看到，这个“Fibonacci小数”的10000倍，减去它的100倍，再减去它自身，得到的结果正好是100，究其原因则是Fibonacci数列的递归性质。熟悉生成函数的读者猛地一拍大腿，唉呀！这不就是生成函数么！我在讲解生成函数的文章里曾经写道：

接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。

Fibonacci数列是这样一个递推数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数：

g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+…

等式两边同时乘以x，我们得到：

x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+…

就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。

现在我们把前面的式子和后面的式子相加，我们得到：

g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+…

把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。

原来，100/9899说穿了就是把x=1/100代入生成函数g(x)。

这下子就热闹了。考虑数列1, 4, 9, 16, 25, 36, …的生成函数g(x)=x(1+x)/(1-x)^3，代入x=1/100得到g(1/100)=10100/970299，于是出现了：

10100/970299 = 0.0104091625364964 …

当然，想要更牛B的也不难：

g(1/1000) = 1001000/997002999 = 0.001004009016025036049064081100121144169 …

再来看看数列2, 4, 8, 16, 32, …的生成函数g(x)=2x/(1-2x)，利用它可以产生出

g(1/100) = 1/49 = 0.0204081632 …

或许有人会恍然大悟，原来，1/7=0.142857…也不是一个巧合。14是7的两倍，28是7的四倍，57是7的八倍加一，这都是因为它们是7乘以“2的幂序列”并产生适当进位后得到的。

重新回到我们先前讨论的话题，我们惊奇地发现，数列0, 1, 2, 3, 4, …的生成函数为g(x)=x^2/(1-x)^2。于是：

g(1/10) = 1/81 = 0.0123456790123…