实分析中的反例

当我发现竟然有专门收集各种特殊函数的数学书时，可以想象我的心情有多激动。我试着以“反例”为关键字在图书馆进行检索，借了一大堆实分析数学书。这些书都已经很老了，封皮烂了又烂，已经修修补补重装了两三次封皮。翻翻这些老书，不由得对老一辈的学者和作家表示由衷的崇敬；虽然文字、排版都不出彩，但书的容量极大，内容也很实在。

废话不多说了，让我们来欣赏一下书里的一些精彩篇章吧。

实数域上一个单调递增的有界可微函数f，但lim(x→±∞)f ‘(x)≠0

直觉上，一个单调递增的有界函数走到无穷远的地方一定是“平”的，而事实上却并非如此。我们能构造这样一个函数，它是R上的递增有界函数，但无穷远处的导数并不等于0。

对所有非负整数n，定义f(n)=1 – 1/2^n。接下来，用下面的方式把函数扩张到全体非负实数：对区间(n, n+1)，用一条光滑的、递增的、导数由0变成1再变成0的函数来连接f(n)和f(n+1)（例如正弦函数的一个完整递增区间缩小至原大小的1/2^(n+2)再加上两根分别等于f(n)和f(n+1)的常函数）。

再令f(-x)=-f(x)。则这个函数是R上的一个单调递增的有界函数，但导数的极限显然不为0。事实上，这个函数的导数在无穷远处根本就没有极限，因为不管走到多远导数总能取满从0到1的所有值。

如果把问题的条件改为“严格递增”呢？对于严格递增的有界函数，无穷远处的导数也不见得为0，构造一个反例很简单，只需要在刚才那个函数上面加上一个严格单增的有界函数即可，如令g(x)=f(x)+1-1/2^n。显然，g(x)仍然单调有界，且g'(x)=f'(x) + ln(2)/2^n，其极限仍然不为0。

函数f在x0的任意小的邻域内都无界，但x→x0时f(x)并不趋于无穷大

f(x)=|cos(1/x) / x|满足要求。无论对于多大的正数N，总存在一个充分接近0的点使得f(x)>N。例如，取x=1/(nπ)，则f(x)=|1/x|=nπ，上述结论显然。

有趣的是，如果取x=1/((n+1/2) π)，则当n→∞时x→0，且f(x)→0。这说明，x趋于0时f(x)并不趋于无穷大。

f(x)→∞，不见得有f ‘(x)→∞

与上例比较类似。考虑(0,1)上的函数f(x)=1/x + cos(1/x)，显然lim(x→0+) f(x)=+∞ 。但f ‘(x)=(sin(1/x)-1)/x^2，若令x=1/(2n+1/2)π，当n→∞时f ‘(x)=0，这说明f ‘(x)→∞是不成立的。

处处有限而又处处局部无界的函数

定义函数f(x)=0 (当x为无理数)， f(x)=n (当x为有理数且可表示为既约分数m/n)。这个函数在每一点上都有意义，每一个f(x)都是有限的；但在任意小的区间内，你能找到分母任意大的既约分数，因此函数在任意小的一个区间上都是无界的。

二元函数f(x,y)在原点处不连续，但在任意一条通过原点的直线上都是连续的

定义函数f(x,y)=x^2/y，当y>0且x^2/y≤1时；f(x,y)=y/x^2，当y>0且x^2/y≥1时；当y=0时f(x,y)=0。再令f(x,-y)=f(x,y)。

任意接近(0,0)的地方都存在形如(a, a^2)的点，相应的函数值为1，因此函数在原点间断；可是，取任意一条过原点的直线y=mx，当|x|充分小时必有x^2/y≤1，此时|f(x,y)|=|x^2/y|=|x/m|，函数在原点处连续。