关于0.9999….=1的证明

某日凌晨4点多，网友Superwyh发来短信说，他梦到了这样一个颇具启发性的问题：如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？正好当时我还没睡，稍微想了一下，发现这个命题是成立的，因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等，那它们之间一定能够插入其它的数（例如这两个数的算术平均值）；反过来，如果两个数之间无法插入别的数，这两个数自然就应该相等了。

这个命题是相当具有启发性的。或许有人会想，能不能用这一思路去证明两个数相等呢？

关于两数是否相等的争论，最著名的就是那个关于0.9999….和1是否相等的问题了。这一问题理解起来简单，细想起来争议颇大，真可谓是一个全民化的数学争论，与著名的Monty Hall问题有得一拼。不了解极限概念的人可能会说，不管你在后面写多少个9，它都不能达到1的，量变和质变存在本质上的区别。因此，当高中数学课上老师明确指出0.9999….精确地等于1时，还是有不少人瞠目结舌，甚至高声反对。

如何让不懂极限的人相信这一等式呢？这是一个有趣的话题。我们可以用类比法来说服这些“保守派”的人。注意到1/9等于0.1111….，2/9=0.2222….，一直到8/9=0.8888….，我们很容易联想到9/9应该等于0.9999….。但是，9/9等于1，这就说明了两个数是相等的。

下面这个说法更具有说服力一些。令x=0.9999….，于是10x就等于9.9999….，两者相减可得9x=9，我们立即看出x实际上就等于1。

有没有什么更加严格一些的证明呢？Superwyh在短信中提到，直觉上看，0.9999….和1之间似乎无法插入其它数字，这很能令人信服两个数是相等的。事实上，我们可以严格地说明不存在x使得0.9999…. < x < 1。倘若有某个x小于1，这说明1-x是一个正数，虽然它可能很小很小。比方说1-x=0.0000000001，那么就有0.9999…. > 0.99999999999 > x；不管1-x有多小，只需要比到x的第一个非0位，0.9999….就已经超过了x。这样看来，任何一个比1小的数，也一定小于0.9999….，因此1和0.9999….之间不存在第三个数。根据前面的结论，我们立即得到，1和0.9999….其实是同一个数。