UyHiP趣题：(√2 +√3)^1948小数点后第48位是多少？

作为一个UyHiP的忠实粉丝，我决定把上个月的题目和解答翻译过来，即使类似的把戏我们之前已经见到过了。

题目就一句话：根号2和根号3的和的1948次方的小数点后第48位是多少？如果你立即就想到了正确算法的话，我敢保证在别人还没打开Mathematica的时候你就已经得到答案了。

这道题背后隐藏的把戏就是，(√2 +√3)^1948 + (√2 -√3)^1948永远是一个整数，因为展开之后偶数次幂本来就是整数，而奇数次幂的项恰好又正负互相抵消了。注意到√3 -√2只比0.3多一点，因此(√2 -√3)^1948是一个很小很小的数，粗略估算一下的话它小数点后面紧跟着好几百个“0”；而前面说了(√2 +√3)^1948和(√2 -√3)^1948加起来是个整数，那么前者的小数点后必然有相当长的一段数字9。保守估计的话，不但(√2 +√3)^1948小数点后的第48位是“9”，就是480位也是“9”。事实上，这个数的小数点后面900多位都是“9”。