为什么平分圆面积的所有曲线中以直径最短？

很多时候，我们往往不知道如何证明一些最简单、最基本的命题，即使证明本身也并不复杂。上个星期我去《数学思维方法与创新》这门通选课时，丘维声教授就提到了这个问题；在随堂统计中，知道三角函数和角公式证明方法的人出乎意料的少，而事实上高中的数学教材上印有这个公式的完整证明。

试着证明这个定理：给定一个圆，则端点在圆周上的平分圆面积的曲线以圆的直径最短。

证明：随意作一条平分圆面积的曲线（图中的红色曲线），它的两个端点分别为A、B。作出平行于AB的直径CD，作出过A点的直径AB’。注意到B和B’关于CD对称。红色曲线不可能全部在CD的一侧（否则它围住的面积小于一个半圆，无法平分圆面积），因此它与直径CD必然有交点。找出一个交点E，则曲线长度大于AE+EB，它等于AE+EB’，而AE+EB’的长度大于直径AB’。