数学思维游戏两则：Gabriel喇叭、世界末日论

看到新词就上一下Wikipedia确实是一个好习惯。这文章里的那个pdf里作者提到了Gedankenexperiment(Thought experiment)，上Wikipedia一查果然学到了牛B的新东西。好多物理定律其实完全是由思维实验推导出来的，难以置信仅仅是思考竟然就能得出物理世界遵从的各种法则。经典的物理思维实验有Newton大炮、Galileo斜塔实验、Schrödinger的猫猫、Maxwell的妖怪等等。还有，Turing机也是一个伟大的思维实验。

数学上的不少悖论（特别是涉及到维度和无穷的悖论）都是相当有趣的思维实验。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所形成的旋转体。这个简单的三维图形有一个奇特的性质：它的表面积无穷大，却只有有限的体积。为了证实这一点，只需注意到：

Gabriel喇叭会导出一个非常诡异的悖论：如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍，你需要无穷多的涂料；然而把涂料倒进Gabriel喇叭填满整个内部空间，所需要的涂料反而是有限的。

有网友一定会问，那有没有什么二维图形，面积有限大，周长却无限长呢？答案是肯定的，Koch雪花就是这样一个经典的例子。不过，通过分形构造出来的这类图形似乎并不存在涂料悖论，因为递归到一定深度时分形图形的尺度将小于表面涂料的厚度，因此表面大小不能永无止境地算下去，涂满表面所需的涂料不再是无穷多。当考虑到涂料厚度时，原先的悖论也可以解释清楚了：填充内部空间仅仅涂满了图形的内表面，一旦考虑到涂料的厚度，它和外表面的区别就出来了。

另一个有趣的思维实验与世界末日论相关：我们可以通过数学算法“求”出世界末日在哪一天！！下面我们将用简单的数学知识得出这一结论：人类文明已经发展到一半的概率达到95%。

假设整个人类文明史上一共诞生了N个人，而你是其中的第n个人。根据Copernican原理，假设把整个人类文明看作数轴上[0,1]的线段，则你在这条“时间线”上可能处在的位置概率均等地分布在区间(0,1]中。下面我们在(0,1)中取一个足够大的数，比如0.95。那么，你发现自己处在人类文明的(0.05,1]区间上的概率是95%，也即n/N > 0.05。整理一下，我们得到N<20n。如果我们取目前人类文明的总人数n=600亿，代入上式我们有N<12000亿。我们得到这样的结论：有95%的可能性，整个人类文明共诞生了12000亿个人。假设世界人口稳定在100亿，人的平均寿命是80年，那么剩下的11400亿人将在9120年内走完自己的生命。换句话说，人类文明在9120年内灭亡有95%的可能性。这是一个惊人的数字啊！整个人类文明已经过了近万年，居然再过个这么多年就要结束了。