趣题：三角形中的六点共圆

下面这个有趣的问题来自IMO 2008第一题，题目给出的结论非常美妙。

给定一个锐角三角形△ABC，垂心为H。Ma、Mb、Mc分别为三条边的中点。以Ma为圆心，过点H的圆与线段BC相交于点A1、A2；类似地，以Mb、Mc为圆心，过点H的圆与三角形交于B1、B2、C1、C2。求证，A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆。

首先注意到，图中三角形的三条垂线正好穿过了圆和圆之间的公共弦。我们可以很轻易地证明这一点。只需注意到线段MaMb是三角形的中位线，它平行于AB，我们立即得到MaMb⊥HC；而过两圆交点并垂直于连心线的正好就是两圆的公共弦，因此圆Ma和圆Mb的公共弦在HC上。对于其余两对圆有同样的结论。由于C在圆Ma和圆Mb的公共弦的延长线上，因此C到两圆的切线一样长。假设这个长度为t。另外，把圆Ma和圆Mb的半径长分别记作Ra、Rb。观察两个蓝色的直角三角形，显然有(AC/2)^2 – (Rb)^2 = t^2 = (BC/2)^2 – (Ra)^2。

另一方面，如果题目中的六个点共圆，圆心一定在A1A2、B1B2、C1C2的中垂线的交点上（实际上也就是△ABC的外心）。假设这个点为O，它到Ma、Mb的距离分别为Sa、Sb。观察两个绿色的直角三角形，显然有(AC/2)^2 + (Sb)^2 = (OC)^2 = (BC/2)^2 + (Sa)^2。两式相减，有(Rb)^2 + (Sb)^2 = (Ra)^2 + (Sa)^2，应用到△OMaA1、△OMaA2、△OMbB1、△OMbB2四个直角三角形上，立即可以看到点O到A1、A2、B1、B2的距离相等，这四个点共圆。

同理，B1、B2、C1、C2也共圆，因此这六个点都在同一个圆上。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CirclesThroughOrthocenter.shtml