两个与无穷级数有关的悖论

我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …。首先我们需要说明，这个无穷级数是收敛的。注意到，从1的后面开始，每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数，因此不管你加到哪儿，它的和始终不会超过1；另外，从1-1/2之后开始，每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数，因此无论加到什么位置，整个和始终大于1/2。这说明，这个级数是收敛的，并且它收敛到1/2和1之间的某个数（事实上这个数是ln(2) ）。

好了，令这个无穷级数为S，现在对S进行这样的变换：

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …

= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …)

= 0

但刚才不是说了S是大于1/2的么？这怎么可能呢？

刚看到这个问题后，立即想起Eagle Fantasy(http://www.eaglefantasy.cn/)也提到过一个类似的问题(http://www.eaglefantasy.cn/archives/86)。同样令

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …①

①式两边同时乘以1/2，有

S/2 = 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/10 – …②

①式和②式相加有：

(3/2)*S = 1 + 1/3 – 1/2 + 1/5 + 1/7 – 1/4 + 1/9 + 1/11 – 1/6 + …③

比较①式和③式，它们的项竟是完全相同的，①中的所有项在③里都有，③里的每一个项也在①中出现过。你会惊奇地发现，仅仅是交换了项的顺序，整个无穷级数居然变成了原来的3/2倍！

这两个例子告诉我们，在无穷级数里，加法的交换律和结合率是不能乱用的。无穷级数的“和”不是一个普通的和，本质上是一个极限，是一系列“部分和”S1, S2, S3, …, Sn, …的极限，这显然已经超出了交换律和结合率的适用范围。最近我们高数正好学到无穷级数，我仔细看了一下一些无穷级数基本性质的叙述和证明。整个体系是相当严密的，每一步证明过程都充分利用到级数和极限的定义。