趣题：直尺不够长时如何作出连接两点的直线？

射影几何太科学了！太科学了！以后我要慢慢写进Blog里。这里说一个《什么是数学》中射影几何章节中的一个小插曲，和射影几何本身没太大关系：纸上两点A和B，它们之间的距离大于直尺的长度。你如何只用直尺作出过这两点的连线？注意，你只能使用笔和直尺，不能借助圆规等其它工具。

首先让我们回顾一下射影几何中的Desargues定理。Desargues定理描述了一个由简单的点和线所构成的美妙的关系：平面上的两个三角形的对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线。你可以多画几个图来验证这一结论，这里不再介绍完整的证明了。另外，虽然题目中的直尺不能连接距离太远的两点，但别忘了直尺可以无限延长一条已有的线段，你只需要不断重复“延长 – 描新点”的步骤就可以了。

从A点出发，向任意两个方向作射线。两条射线的夹角应该尽可能小，因为一会儿要连接射线上的两点，太远了当心直尺够不着。对B点作相同的处理。画出这两对射线的交点M和N。连接并延长MN，在MN上任意找一点X。从点X出发，向任意两个方向作射线（这两条射线的夹角也是越小越好，原因同上），其中一条射线与从A出发的两条射线交于P1,Q1，另外一条射线与以B为端点的两条射线交于P2,Q2。注意，△NP1P2和△MQ1Q2两个三角形构成了一个满足Desargues定理的图形，因此P1P2和Q1Q2的交点必然与点A、点B共线。此时，我们就找到了所求直线上的一个新的点C。接下来，我们只需要将C点和已有的A或者B相连，并且延长直到贯穿A、B两点。

当然，这么做的前提是C的位置离A和B中的某个点足够近才行。要是C点离A和B仍然很远咋办？起初M和N的距离，P1和P2的距离，以及Q1和Q2的距离，我们都是可以控制的，这可以保证我们的直尺够得着；但鬼知道这样作出来的C点跑哪儿去了呢？这怎么办呢？多试几次直到作出一个合适的C来？其实解决办法很简单，稍微调整一下射线X-P1-Q1的角度，我们又能作出一个新的点C’，显然C和C’的距离可以达到任意小，并且C和C’两点都在AB上。连接C和C’后，我们就可以无限延长直线AB了。