运用条件概率分析合情推理模式

1. Goldbach猜想是说，任一大于等于4的偶数一定能表示成两个质数之和。关于质数，我们还有这样一个有趣的结论：对于任何整数n>1，存在质数p满足n<=p<2n。这个结论对Goldbach猜想是很“有利”的，因为它是Goldbach猜想的一个必要条件。倘若对于某个正整数n，n和2n之间没有质数，那么偶数2n就不能表示为两个质数之和了，因为所有可以用的质数都比n小，再怎么也加不出2n来。注意，如果这个结论错了，猜想也就被推翻了；但如果这个结论对了，猜想也不一定是对的。但即使这样，我们仍然习惯性地认为，验证了推论的正确性后猜想的可靠程度也或多或少的有了些提高，换句话说猜想为真的可能性更大了。这种思维合理吗？

2. 长期以来，人们都在思考：对任一给定的平面图进行染色，要想使得有公共边的区域颜色不同，最少需要多少种颜色。四色猜想（现在已经是四色定理了）认为，只需要最多四种不同的颜色就足够了。我们可以随便画一些图进行验证，每一次检验后我们都会或多或少地更加相信结论的正确性。你可以尝试寻找下面的图1、图2和图3的合法解，检验一下猜想是否正确。验证哪一个图更有价值？你或许会这样回答：验证第一个图毫无价值，因为它显然有可行的染色方案；验证第三个图最有价值，因为它看上去最像反例，证实了它确实有解后，你会更加坚信四色猜想的正确性。1975年的4月1日，杂志Scientific American的数学专栏作家Martin Gardner宣布他找到了一个四色猜想的反例（图4）。当然，这只是一个愚人节的笑话。寻找图4的解非常困难，以致于看上去几乎是不可能的。一旦你成功找出了图4的解，对四色猜想的信任程度可就不只提高一点点了。“对猜想的某个结论进行验证，结论越是不可思议，证实以后原猜想的可靠程度就提高得越多”，这种思维是合理的吗？

3. 你认为，是否有可能把一个直角三角形分成若干个锐角三角形？你很可能花了一节古代汉语课的时间苦思冥想，结果直角三角形没搞出来，倒是碰巧把一个正方形分成了8个锐角三角形。虽然你仍不知道一个直角三角形是否能分成若干个锐角三角形，但你找到了一个正方形的解，你会强烈地感觉到直角三角形也是有解的。这是什么原因呢？注意到，如果三角形能分的话正方形一定能分，但反过来却不一定。不过，这里面还有一些更微妙的关系：我们倾向于相信如果连直角三角形都没法分，正方形应该更没法分了。既然现在正方形已经解决了，那三角形也就快了。“B是A的结论，且没有A的B很不可靠，则证实了B可以极大地提高A的可信度”，这种思维合理吗？

4. 关于“如果他错了，那我对的概率就更大了”的思维。A、B两人被一个实际问题难住了，双方就问题中的两个变量的变化关系争执不休。A认为，函数图像画出来应该是一个开口朝上的二次函数；B则认为，函数图像应该是一个正弦函数。注意到一个有趣的事实：这两种猜测满足矛盾率，但不满足排中率。就是说，有可能A和B都错了，但是A和B不可能都对。紧接着他们发现，这个函数存在至少一个极大值，A的猜测显然是错的。虽然这并不能表明B的猜测就是对的，但我们能不能说B猜对的概率变大了？

下面的内容是G.Pólya的Mathematics and Plausible Reasoning Vol 2里的精华：用概率来分析合情推理模式。我们可以用概率知识来描述上面这些合乎情理的推测。

注意到P(A)*P(B|A)永远等于P(B)*P(A|B)，它们都等于P(A∩B)。如果B是A的一个推论，那么有P(B|A)=1（若A为真则B必为真）。于是我们有P(A)=P(B)*P(A|B)。这里，P(A|B)有一个形象的意义：结论B的证实可以使我们对A的信任改变多少。假如P(A|B)不变，则如果等式右边的P(B)增加了，P(A)也会增加。这也就说明了我们的第一个合情推理模式：对猜想的一个结论更加信任，对猜想本身也更加信任。

这个式子还能告诉我们更多的东西。把P(B)除过去，我们有P(A|B)=P(A)/P(B)，其中等式左边的P(A|B)表示的仍然是证实了B以后A为真的概率，也就是验证B结论的价值。我们很清楚地看到，P(B)处于分母的位置。那么，结论B本身为真的概率越小，证实了B后对A的影响也就越大。

注意P(B)=P(A∩B)+P(～A∩B)=P(A)*P(B|A)+P(～A)*P(B|～A)，而B是A的一个结论，即P(B|A)=1。于是，等号右边变为P(A)+[1-P(A)]*P(B|～A)。利用前面的结论，我们用P(A)/P(A|B)代替等式左边的P(B)，则有P(A|B)=P(A)/[P(A)+[1-P(A)]*P(B|～A)]。可以看到，如果P(B|～A)越小，则P(A|B)越大。这就是说，在没有A的前提下B成立可能性越小，证实了B之后A为真的可能性就越大。

最后，我们看一看A和B不相容的情况。此时，P(A∩B)=0，于是

P(A) = P(A∩B) + P(A∩～B)

= P(A∩～B)

= P(～B) * P(A|～B)

= [1-P(B)] * P(A|～B)

把1-P(B)除过去，就有P(A|～B)=P(A)/[1-P(B)]，显然P(A|～B)是大于P(A)的，也即排除了B的猜测后A对的可能性比原来更高了。我们还可以清楚地看到，如果我们之前越相信B，则B被驳倒后A正确的可能性提高得就越多。