局部变动原理：算术平均数不小于几何平均数

之前的等高线模式中，在倒数第二个例子里我们证明了所有的圆内接n边形以正n边形最大。当时我们用到了一个很值得思考的方法：固定其余所有点的位置，只移动其中一个点的位置，那么这个点与左右相邻两点等距时面积才可能达到最大。这就说明圆内接n边形以正n边形最大，否则我可以不断寻找长度不等的邻边，通过一次次地调整不断地趋近我的最终目标。对于一个多变元函数，只有每个变量（在它所对应的单变量函数中）都达到最大时，所有变量才可能同时使函数值达到最大。这种思考方法被称之为“局部变动原理”。《数学与猜想》中提到了局部变动原理的另一个应用──证明n个数的算术平均数大于等于几何平均数。中学教材（至少在我的中学教材里）没有给出这一结论的证明。我自己曾经找到过这一定理的很多种证明，但《数学与猜想》中给出的是我所见到的最简洁、最有趣的证明。

考虑两个数a和b，现在我已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？或许大家都知道，当两个数的和一定时，两数相等时乘积最大。也就是说，问题的答案就是((a+b)/2)^2。证明这个结论很简单，我们可以通过简单的代数运算看出，对于任意的a和b，((a+b)/2)^2不会小于ab。用前面的减去后面的，我们有

((a+b)/2)^2 – ab

= (a^2+2ab+b^2)/4 – ab

= (a^2-2ab+b^2)/4

= ((a-b)/2)^2

可以看到，前者减去后者的差始终非负，并且仅当a=b时差值为0。

下面考虑n个数a1, a2, …, an，现在已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？你也许不知道相关的定理，以前也不曾想过这个问题，但稍加思考你会说，当这n个数都相等时乘积最大。你或许以为你是凭直觉想到了这个结论，但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法。固定其它n-2个数不变，只考虑其中两个数，那么很显然这两个数的和也已经固定了，并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案。而要想让这两个数的积最大，它们必须得相等才行。运用局部变动原理，则只有任两个数都相等，这n个数的乘积才会最大。此时，这n个数的值都等于(a1+a2+…+an)/n，只有这样它们的乘积才可能是最大的，任何其它情况下的a1*a2*…*an都比它小。

仿照上面给出的式子，我们把这个结论写成如下形式：

( (a1+a2+…+an)/n )^n >= a1*a2*…*an

两边同时开n次方，我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。