等高线模式：解决极大极小问题的另类策略

最近在看Pólya的《数学与猜想》，读到了一些很有意思的东西，在这里和大家分享。

我们首先来看一道很火星的题目：A、B两点在已知直线的同侧，请在直线上找出一点C使得∠ACB最大。可能大家都知道这个该怎么做，但这个解法到底是怎么想到的呢？《数学与猜想》提到了这样一种看法：

首先，我们需要确定，这条直线上的确存在一点，使得这个角度达到最大。我们很容易观察到，这个动点往左移（可以一直移动到BA的延长线与直线的交点），这个角度会慢慢变小；同时，动点不断往右移时角度也会慢慢变小（在无穷远处角度为0）。可以想到，角度大小的变化可以用一个凸函数来表示，这段函数上一定存在一个最大点。现在任意在直线上取一点C，你怎么才能说明∠ACB是最大或者不是最大？一个比较直观的方法是，如果你取的C点不能使角度达到最大，那么这条直线上一定存在另一个点C'，使得∠ACB=∠AC'B。分析到这一步，问题终于有了眉目，因为有一个大家都很熟悉的东西恰好与角度相等有关——同一段弧所对的圆周角总是相等。过点AB作一系列的圆，那么同一个圆周上的所有点对AB的张角都是一样大的。我们看到，这些蓝色的线条与直线的交点都是成对出现，换句话说ABC三点确定的圆与直线的另一个交点就是那个C'。但有那么一个点非常例外：在这无穷多个圆中，有一个圆恰好与直线相切。这个切点只出现了一次，它就是角度大小的极大值。

真正的数学家会从这个简单的题目里看到一些更深的思想。我们可以把这个图任意的扭曲，从而得到这样一个有趣的结论。假设我和MM在野外探险，地形是任意给定的，我们的行动路线也是任意给定的。现在我有一张非常精确的等高线地图，我把我们的路线画在地图上，那么整个旅途中所到达的最高点和最低点在地图上的什么位置？仔细思考等高线的定义，我们立即想到：路径穿过等高线的地方肯定不会是最高点或最低点，因为穿过一条等高线即表明你正在爬上爬下。因此，达到最高点或最低点的地方只能是等高线与我的路线相切的地方。这给我们一个启发：我们可以用这种模式来解决很多极大极小问题。我们把所有可能的结果的分布情况用等高线表示，而实际允许的初始条件则被限制在了一条路径上，那么最优解必然是这条路径与某条等高线的切点。用等高线模式来解释刚才的问题将变得非常简单：图中的蓝色线条就是角度大小的“等高线”，在直线上取得极值的时候，等高线恰与直线相切，其它情况下角度大小都在“变化进行时”。

我们再来看三个有趣的例子。在第一个例子中我们将解释为什么点到直线的距离以垂线段最短，第二个例子则将探究为什么所有的圆内接n边形以正n边形最大。在第三个例子里我们将提到一个与椭圆有关的神奇性质。

上面这个图就是到定点距离大小的等高线图。我们可以立即看到，等高线就是一个个的同心圆。与已知直线相切的那个同心圆确定了直线到给定点距离最短的位置，而圆的半径与对应位置上的切线垂直，这就说明了点到直线的距离以垂线段最短。

下面我们考虑圆内接多边形的某个顶点X。这个顶点两旁的点分别是A和B。那么整个多边形被分成了两部分：三角形AXB，和剩下的那一大块多边形。如果我们只移动点X，这只会影响三角形AXB的面积，对剩下的部分没有影响。X在不同位置所得到的三角形面积不同，在图中我们用蓝色的等高线来表示这个面积值的分布情况。由于等底等高的三角形面积相同，因此我们的等高线是一系列互相平行的直线。点X只能在一段圆弧上取，当△AXB达到最大时X必然落在圆弧与某条直线相切的地方，显然此时AX=BX。换句话说，只要圆内接多边形里有长度不等的邻边，那么这个多边形的面积一定可以变得更大。再换句话说，只有所有边都相等了，面积才可能达到最大。这就说明了，所有的圆内接n边形以正n边形最大。

我相信你已经对这个方法非常熟悉了，因此最后这个例子我就不画图了。在第三个例子中，我们将考虑一个和光学有关的性质。给定一条直线和直线同侧的两点A、B，那么直线上一定有一点C使得AC+BC达到最小。这个点C是一个以A、B为焦点的椭圆形等高线与直线的切点。固定点A和点B，适当调整直线的位置，结论始终成立。还记得Fermat原理吗，光从一点到另一点总是沿着光程最短的路径来传播。仅考虑反射定律，这个结论很显然。也就是说，A->C->B这样的光线传播路径完全遵循光的反射规律。嘿！我证明了这样一个富有传奇色彩的结论：椭圆形从一个焦点发射出来的光线总会反射到另一个焦点。