漫话进位制

人有十个手指，用手指的伸屈来计数非常方便。但一旦对象的数目超过10个了，手指头就不够用了。当然，有人会想到还有脚趾头。搬弄脚趾头是不现实的，数手指头只需要站着比划一下就可以了，数脚趾头还需要坐下来慢慢研究。一种好的方法是每次数完了十个指头后在什么地方做一个标记，比如在地上放一个木棒。人们可以把这根木棒想像成一个“大指头”，它相当于十个指头。这样，我有37个MM就被表示成了地上3个木棒加上我7个手指头。哈哈，你的MM数只有两根木棒加4个手指头，于是我的MM比你的多。久而久之，人们就只接受0到9这十个数字了，再大的数就用几个数字合起来表示。这种“满十进一”的数字系统就叫做十进位制。

如果人只有八个手指头又会怎样呢？那我们现在很可能正在使用八进制，数学发展起来后我们最终只接受八个数字，而大于8的数字就用更高一级的计量单位表示。代表这八个数字的很可能是些星际之门里的怪符号，这里为了便于叙述，我们仍然使用阿拉伯数字的0到7来表示。于是，人类数数的方式将变为：0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,...。这里，数字8被记作10，数字64则用100代替。在这个数学世界里，6+5=13，因为6+1得到的数已经是一位数中最大的了，再加的话只能“进一位”了。“满八进一”将成为数学运算的基本法则。

如果人有12根手指，12进制将成为更难想像的事。在12进制中，人类会把10和11直接想成是一个“数字”。研究的进位制大于10时，大于9的数字我们习惯上用大写字母ABC来表示。这样，自然数序列里将多出两个符号A和B来，数数的方式变为...,8,9,A,B,10,11,12,...。

我们自然会想，人类生活中究竟有没有其它的进位制呢？当然有。比如，时间和角度就是60进位制，60秒=1分。还有更怪的，计算机的储存容量单位是1024进制的，1MB=1024KB。当然，这也是有原因的。我们在研究几何时常常需要用到1/2，1/3，1/4或者1/6，我们希望这些分数在角度进制下恰好都是整数以便于运算。于是，角度的进位制就变成了60。为什么时间也是60进位制呢？因为时间和角度密切相关，你看看你的手表就知道了（别告诉我你的手表是数字型的）。为什么钟和手表又要用圆形表盘的方式来表示时间呢？其实人自古以来计算时间都是用的圆形盘面，因为地球绕太阳旋转和地球的自转使得时间具有了周期性。

计算机使用二进制，因为计算机元件只有两种状态（开和关，或者说通电和断电），因此计算机只认0和1两个数字。1024是2的幂，又比较接近1000符合人的习惯，因此把1024当成了计算机容量的进位制。

前段时间有人在OIBH上问，为什么纸币的面值都是1*10^n、2*10^n、5*10^n呢。有人回答说这样的货币系统可以使得某种贪心方法正确。确实有这个结论，这样的货币系统使得解决“凑钱和找零时最少使用多少张纸币”这一问题的贪心算法（不断拿最大面额的纸币）是正确。但用这一点来解释我们的问题显然是可笑的，人们首先考虑的并不是如何方便地使用最少纸币，而是如何方便地得到总面额。一个只有1元纸币和7元纸币的货币系统同样满足贪心性质，但显然傻子才会设计出这种别扭的货币系统来。因此，我的回答是“纸币的面值取10的约数，这样的话凑钱和找零最方便”。但是，有人会问，要是我们使用的进位制不是10怎么办？换句话说，如果我们使用的是23进位制，除1和本身外没有其它约数的话，又该怎样设置货币系统呢。答案非常出人意料，如果我们使用的是23进位制的话，我们很可能根本发展不出数学这门学科来。10=1+2+3+4，是前四个正整数的和；10又是2和5的积；这样的进位制非常适合数学的发展。同样地，6=1+2+3，6=2*3，因此可能正在使用六进制的昆虫们很容易发展出数学来（六足动物的数学非常强，不是有人发现了蜜蜂蜂巢的六边形样式设计是最科学的么）。大家看过《计算机中的上帝》(Calculating God)吗？那里面构造了这样一种生物：他有23根手指。这种别扭的数字最多只能让人联想到乔丹和染色体，除此之外没有任何特性。这给这种生物的数学发展带来不可逾越的困难。而事实上，这种生物恰好又没有发展数学的必要性。他就好像人类一样，对较小的物体个数具有直接感知的能力。人类可以直接感知的物体数量一般不超过6。也就是说，如果你眼前有3个，或者5个东西，你不需要数，看一眼就知道有多少个；但当你眼前出现的物体数目达到7个或者8个时，你就必须要数一数才知道个数了。而我们所说的生物面对的物体数目多达46个时仍然可以一眼分辨出多少来，数目超过46后就统称为“很多”了。直接感知数目达到50甚至60多的生物个体就扮演着该种族中的僧侣角色。46这个数字对于种族的生存已经完全足够了，他们在组建部落时总会保证部落的个体数不超过这个数字。因此，这种生物不需要数数的能力，他们也就无须发展数学了。他们不知道30加30等于多少，从某种意义上说他们甚至不知道一加一等于几，因为他们头脑中根本没有数字这个概念。作为一种补偿，他们对事物的感知能力相当敏锐。他们甚至直接凭直觉感知到了相对论，因为他们的思维不受演绎逻辑的束缚。

下文将介绍两套进制转换的方法，然后介绍这两套方法在小数转换上的应用。更多的进位制相关应用你可以在文后的习题部分中体会到。

在讲进位制时，大多数教材会教大家二进制和十进制如何互换。今天我就偏不这样讲，我要和那些教材讲得一样了我还不如不写今天这些东西。二进制虽然常用，但比较特殊，很可能会了二进制但仍然不会其它进制；我们今天当一回蜜蜂，看看六进制和十进制怎么互相转换。学会这个后，任意进制间的转换你就应该都会了。

说起进位制时往往要回到最根本的一些计数方法上。这篇日志是我第237篇日志。数字“237”表示两个百，加上三个十，加上七个单位一。我们把它们分别叫百位、十位和个位，同一个数字在不同数位上表示的实际数量不同。用一个式子表示上面的意思就是，237=2*100+3*10+7。这就是进位制的实际意义。

现在，假如我是一只勤劳的蜜蜂。我写237篇日志是肯定不可能的了，因为我的数学世界里根本没有7这个数字。那就说我写了235篇日志吧。结合前面所说的东西，“十位”上的数表示有多少个6，“百位”上的数表示有多少个36（后面提到的十位、百位打引号表明这不是十进制中的“十”和“百”）。于是，六进制下的235就应该等于2*6^2+3*6+5。这个算式你用什么进制算出答案就相当于把六进制中的235转换为了什么进制。不过你要把这个式子当成别的进制算是不大可能的，算之前你估计得重新背一遍乘法口诀表（注意我为什么不说是“九九”乘法口诀表）。这就是我们为什么一般只研究十进制与其它进制互换的原因。我们用熟悉的十进制进行计算，得出2*6^2+3*6+5=72+18+5=95。这是按定义进行进制转换的方法。六进制的235等于十进制的95，我们记作(235)6=(95)10。那个6和10是下标，应该像H2O的2一样小小地写在下面。我就懒得排版了，反正转贴个几次就成Plain Text了。

下面的任务是，考虑怎么把(95)10变回(235)6。使用六进制计算13*10+5可以得到235（十位上的9相当于六进制中的13），但我们说过六进制计算很麻烦。下面我们给出一种把十进制转换为六进制的方法，仔细思考你会发现这种方法显然是正确的。我们把所有6的幂从小到大写出来：1,6,36,216,...。216远远超过95了，因此95的六进制不可能是四位数。95里面有两个36，因此在最高位上写个“2”。去掉两个36，95里只剩23。23里有三个6，数字3将填写在第二位上，去掉这三个6最后所剩的5留给最末位。换句话说，我们不断寻找最大的x使得6^x不超过当前数，当前数减去6^x并在右起第x+1位上加一。这事实上是前面六进制转十进制的逆过程。

上面的进制互换方法是一套方法，这是我们所介绍的第一套方法。这套方法的特点是正确性很显然，但是计算比较复杂，又费马达又费电。我们需要一个计算更方便的进制转换方法。下面介绍的就是进制转换的第二套方案。

再一次回到一个很基础的问题：在十进制中，为什么乘以10相当于在数的末尾加一个0？我们同样会联想到位运算：为什么二进制左移一位（末尾加一个0）相当于乘以2？事实上，这个结论普遍存在于所有进位制中：k进制数的末尾加个0，相当于该数乘以k。证明方法非常简单，乘以一个k就相当于进位制展开式的每个指数都加一，也就相当于所有数字左移一位。六进制235=2*6^2+3*6+5，乘以6的话式子将变为2*6^3+3*6^2+5*6，也即2350。利用这个性质，六进制235可以很快转为十进制：235相当于2后面添0，加上3，再添一个0，再加上5，写为算式即(2*6+3)*6+5=95。把(2*6+3)*6+5展开来，得到的式子和前面的那种计算方法(2*6^2+3*6+5)一模一样，但这里的计算方式更简便一些。如果写成程序，六进制字符串t转为十进制数a只需要一句话就可以完成：

for i:=1 to length(t) do a:=a*6+ord(t[i])-48;

使用这种方法将十进制变回六进制是一个彻头彻尾的逆向操作：当前数不断除以6并把余数作为新的最高位。比如，95除以6等于15余5，余数5就是个位，15除以6的余数3作为“十位”，最终的商2是“百位”。这叫做短除法，是最常见的方法，网上随处可见。

下面说一下进位制中的小数。前面的东西如果理解了，小数进制的转换将顺理成章地进行下去。六进制中的0.1相当于十进制的1/6，因为六进制中的0.1、0.2、0.3、0.4、0.5五个数把区间0到1均分为了6分。同样地，(0.05)6=(5/36)10。你会发现，一个“十分位”代表1/6，一个“百分位”代表1/6^2，之前的很多结论仍然成立。六进制小数12.345就等于1*6^1+2*6^0+3*6^(-1)+4*6^(-2)+5*6^(-3)，通过负指数把进制转换的整数部分和小数部分联系在了一起。(12.345)6转为十进制后居然变成了无限小数，其实这并不奇怪，这只是一个约数的问题：同样是三分之一，在我的六进制下正好分干净(0.2)，但在你十进制下就总也分不完，总要剩一点留给下一位(0.333333...)。可以看到，一个进制下的有限小数很可能是另一个进制下的无限循环小数。

既然前面所说的第一套方法中六进制转十进制对于小数仍然成立，那么第一套方法的十进制转六进制也可以直接在小数上使用。如果你嫌无限小数很别扭，用分数进行操作是一种不错的选择。具体操作方法和前文叙述一模一样。针对纯小数的进制转换，我们把前文的描述换种方法再说一遍：不断寻找最小的正整数x使得1/6^x不超过当前数，当前数减去1/6^x并在小数点后第x位上加一。我就不再举例子了，下面主要讨论第二套方法在小数上的应用。

我们曾说过，在k进制末尾加0相当于该数乘以k。可惜这对小数没有用，小数后你加它八百个“0”这个数仍然不变。其实，“末尾加0”只是这种性质反映在整数上的一种现象而已，我们还需要看到更本质的东西（还记得高二哲学么）。考虑到小数的乘k和除k，不难想到这种性质的实质是小数点的移动，整数的末尾加0其实是小数点向右移动一位的结果。显然小数也有类似的结论：将k进制小数的小数点左移一位，相当于该数除以k。比如，十进制中3.14除以10就变成了0.314。结论的证明和原来完全相同：除以k后展开式中的指数全部减一，相当于所有数右移一位。有了这个结论，我们的方法就出来了。来看六进制12.345如何转换为十进制。由于这种方法对整数和小数的处理方法有一些不同，转进制时我们通常对整数部分和小数部分分别进行操作。先把12转成十进制的8，然后单独考虑小数部分。0.345可以看作是数字“5”的小数点左移，加上4后小数点再次左移，再加上3并最后一次左移小数点；写成算式即((5/6+4)/6+3)/6。展开这个式子，实质与前面的方法仍然一样。小数部分十进制转六进制依然是彻头彻尾的逆向操作：当前数不断乘以6并取出整数部分写下来。

这里有一个实例供大家参考，这个例子中的进制转换保证不涉及无限循环小数。1/4在十进制和六进制下的表示肯定都是有限小数，因为4的唯一一个因子2同样也是10和6的因子。先看0.25怎么变成六进制：0.25*6=1.5，取出1，留下0.5；0.5*6=3，没有小数部分了，因此(0.25)10就等于(0.13)6。现在我再把它变回去：(3/6+1)/6=(0.5+1)/6=1.5/6=0.25。这不是彻头彻尾的逆操作吗？

每年NOIp前总有人问负进位制。事实上，如果你搞清了上面的问题，负进位制将非常好理解。负进位制有一个非常奇特的功能：它可以表示出负数但不需要用负号。一个负进制数可能是负数，也可能是正数。比如，负六进制下的12等于十进制下的-4，而负六进制下的123等于1*(-6)^2+2*(-6)^1+3，即十进制下的27。是正是负取决于位数的奇偶：若该数有偶数位，则该数为负数；若有奇数位，则该数为正数。原因很简单，小数点每右移一位，相当于这个数乘以-6；从一位数开始，乘奇数次后该数的位数变成偶数且值为负，乘偶数次该数仍有奇数位且值仍为正。由于末尾添0的性质（小数点移位的性质）仍然成立，负六进制与十进制的转换依然是上面的方法：(123)-6=(1*(-6)+2)*(-6)+3=(27)10。十进制转负六进制？还是那句话：彻头彻尾的逆操作。找到最小的非负整数x使得当前数减x能被6整除，这个x将作为新的最高位写到结果中，然后当前数减去x再除以-6。在这里我不说“余数”这个词，因为当除数为负数时对余数的定义很模糊。不再举例子了，例子都举烦了，自己把(123)-6=...=(27)10那一行倒过去看就是例子了。

当然，还有更神奇的：-1+i进制可以表示出复数来，因为-1+i的幂有时含有虚数有时不含虚数。运算和转换依然和上面这些东西一样，我也就不多说了。

进位制的问题结束了。我们这里是以六进制为例进行的说明，但是不要忘记，最有趣的仍然是二进制。与二进制有关的趣味问题遍地都是。举个例子，你可以在这里的第三题看到一个二进制的经典应用。

讲解也可能有漏洞，很多东西是我突然想到，即兴写下的。大家帮忙纠错~

附一：四道进位制练习题及其简略解答

下面这些题目是在我公布的那个课件里的，是我收集的一些很不错的具有代表性的题目，讲课时已经用过多次了。

1. 证明：Σ(n=1 to ∞)6^( (2-3n-n^2)/2 )是无理数。

解答：用六进制表示此数，该数显然为无理数。

2. 在哪一种进制中，35与58互质？

解答：由于出现了数字8，因此进位制至少为9。事实上，35和58在任何不小于9的进位制下都互质，因为辗转相减不会出现“不够减”的情况，任何进制下最终都得1。

3. 证明：没有一种进制使三位数aaa恰等于a^3。

解答：设此数为k进制，则ak^2+ak+a=a^3。此方程无整数解。

4. 在哪一种进制中，792可以被297整除？

解答：这道题目非常有趣。在任何一种进制下，200的四倍都已经超过792，300的两倍都还不足792。那么，792只可能是297的三倍。设进位制为k，问题转化为解方程7k^2+9k+2=3*(2k^2+9k+7)。

附二：进位制笑话不完全收集:)

1. What would the value of 190 in hexadecimal BE?

2. If only DEAD people understand hexadecimal, how many people understand hexadecimal?

3. There are only 10 types of people in the world — those who understand binary, and those who don't.

4. There are only 10 types of people in the world — those who understand trinary, those who don't, and those who mistake it for binary.

5. Why do mathematicians think Halloween and Christmas are the same? Because 31 Oct = 25 Dec.