趣题：所有人手上的糖数最终会变得一样多

n 个小朋友在圆桌上坐成一圈。初始时，每个小朋友都拥有一定数量的糖。接下来，反复进行下面两个操作：

1. 如果有人手里的糖数是奇数，就向老师再要一颗糖，把手里的糖数补成偶数；

2. 每个人都把自己手中一半的糖传给他右边的人（同时接到从左边传过来的糖）。

证明：总有一个时刻，所有小朋友手中都会拥有相同数量的糖。

附加题：这是一个非常经典的问题。猜猜看我最早在什么地方看到的这个问题？

我很小很小的时候，就在《十万个为什么》的数学分册 1 上读到了这个问题。在我看过的所有书里，这本书恐怕是历史最悠久，被我翻得最烂，对我意义最大的书了。我甚至还记得书里那篇文章的标题——《怎样调整，使大家的糖一样多》。不过，让人哭笑不得的是，文章中用大量篇幅演示了结论的意思，最终却并没有给出一个证明。于是，究竟该怎样证明这个结论，便成了一桩“悬案”。今天在这里看到这个问题的证明时，实在是有些激动，毫不犹豫地把它记了下来。

在第一次传糖之前，每个人手里的糖数都会被补成偶数。因此，我们可以直接假设初始时所有人手里的糖数都是偶数。把所有人手中的糖数的最大值记作 M 。下面，让我们考虑任意一个小朋友，假设他手中的糖数为 a ，他左边的人手中的糖数为 a’ 。第一次传糖之后，这个人手里的糖数就变成了 (a + a’) / 2 。由于 a 和 a’ 都不超过 M ，因而要么 (a + a’) / 2 正好等于 M （但由于 M 是偶数，因此他不能再向老师要糖了），要么 (a + a’) / 2 将会严格小于 M （即使之后再向老师要一颗糖，最多也只能刚好达到 M ）。因此，在第二次传糖之前，每个人手中的糖数仍然都不超过 M 。由此可见，不断继续下去，今后任何人在任何时刻手中的糖数都不会超过 M 。

这表明，所有人的糖数之和有一个上限。因此，小朋友们手中的总糖数不会无限制地增加，总有一个时候，所有人都不再得到新的糖了，整个过程只剩下 n 个数值间简单的迭代。接下来，神奇的一步出现了。让我们考虑在此之后，每一次传糖将导致所有人的糖数的平方和会如何变化：

这说明，如果小朋友们手上的糖数不全相等的话，糖数的平方和将会严格地减少。但是，这个平方和显然不会无限地减少，总会有一个时候，平方和不再变化。此时，小朋友们手上的糖数就都相等了。