非常奇妙的证明：图形必在格点之外

从cut-the-knot上看到的。

问题：

设想一个平面上布满间距为1的横纵直线，形成由一个个1×1正方形组成的网格。任意给一个面积小于1个单位的图形，证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。

证明：

我们可以这样考虑这个问题：把图形随意放在网格中，如何移动网格使每个格点都在图形外面。

现在我们把给定的图形随意放在网格中。然后沿着网格线把包含有图形的网格切成1×1的小格子，从网格中拿出来。把它们重叠起来（不旋转），再想像这些格子是透明的，而图形是不透明的。从上往下看这一叠格子，你看到的会是这个图形的各部分重叠地放在一个格子中，仿佛一个沾有污渍的方块。很显然这些污渍不会布满整个方块（图形面积小于一个格子的面积），方块上总有一块干净的地方。现在我们用一颗针从一个干净的地方刺下去，把这些重起来的格子刺穿。把这些格子放回原来的网格中，你看到的会是每一个有图形的方格内都有一个针眼，这些针眼都不在图形内。现在可以把原来的网格擦掉了，这几个针眼可以看作是新网格的格点。按针眼的位置重画新的网格，那么这个图形内决不会有新网格的格点，此时，结论也就证到了。