超级游戏悖论：千万别说“让我们来玩一个游戏”

今天听说了一个非常有趣的思想实验——超级游戏（ Hypergame ，暂且让我翻译成“超级游戏”吧）。首先，如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多，但只要能在有限步内结束游戏，我们都把它叫做有限游戏。举个例子，玩家 1 和玩家 2 游戏，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后立即获胜。这个游戏的决策有无穷多，但它显然是有限游戏。另外，一个有限游戏的总步数甚至也可以没有上限。比如说，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后玩家 2 说 N – 1 ，玩家 1 说 N – 2 ，以此类推，两人轮流倒数，谁数到 0 谁就获胜。结束这个游戏所需要的步数可以是任意多，但只要是有限的，我们都把它叫做有限游戏。

下面，我们来看这个叫做“超级游戏”的游戏。在超级游戏中，首先，玩家 1 指定一个有限游戏，然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。谁赢得了这个有限游戏，也就是这局超级游戏的获胜者。

这个异想天开的游戏可以说是一下子打开了我们的思路，很多再正常不过的事情此时都变得有争议了。比如说，超级游戏的决策树是什么样子的？超级游戏算是组合游戏吗？甚至是问，超级游戏本身是一个有限游戏吗？

有人或许会说，超级游戏当然算有限游戏，虽然玩家 1 的决策（挑选一个有限游戏）有无穷多种，但是一旦游戏一确定，第一步过去了，整个游戏的有限性就很显然了。且慢。由于超级游戏本身也是一个有限游戏，因此玩家 1 有一个很奇异的合法决策：“让我们来玩⋯⋯来玩超级游戏吧！”按照规则，此时就应该由玩家 2 在玩家 1 提出的这个游戏中扮演先行者。而这个游戏本身又是一个超级游戏，因此玩家 2 也需要提出一个有限游戏来玩。当然，玩家 2 也可以说“那⋯⋯我们就来玩超级游戏吧”，把球又扔回给玩家 1 。如果每个人都说“我们来玩超级游戏吧”，显然这个游戏就永远结束不了了。因此，超级游戏并不是一个有限游戏。

是吗？你会发现此时我们陷入了理发师悖论的困境。如果假设超级游戏不是一个有限游戏，那么玩家 1 提出玩超级游戏就不是一个合法的决策了，从而超级游戏就变得有限了。因此，超级游戏既不是有限游戏，又算是有限游戏，悖论由此产生。

逻辑的世界中满地都是地雷，想不到一句“让我们来玩一个游戏吧”也能带来悖论。跟一个逻辑学家或是一台计算机对话时一定要小心，千万别说一些自我指涉的话来。不过，这还是防不胜防，殊不知一句“让我们来玩一个游戏吧”也能把它们搞崩溃。