趣题：随机折断的木棒

依次考虑下面三个问题。

1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截木棒平均有多长？

2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，长的那一截木棒平均有多长？

3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少？

没错，由于折断点均匀分布在这根木棒上，因此短的那一段木棒的长度也均匀地分布在 0 到 0.5 之间，它的平均长度是 0.25 ；类似地，长的那一段木棒，其长度也均匀分布在 0.5 到 1 之间，平均长度为 0.75 。不过，有趣的是，两段木棒长度的平均比值却并不是 1:3 。计算机模拟告诉我们，短木棒与长木棒的长度之比的期望值大约为 0.3863 ，要比 1:3 大一点点。平均的长度之比不等于平均长度之比，这似乎有悖于人们的直觉。

计算出准确的长度之比期望值可以作为又一个有趣的微积分练习题。对这个比值积分后容易得出答案：

也就是说，两段木棒的长度之比平均为 2·ln2 – 1 。令人称奇的是，神秘的常数 e 又一次出现在了本与它毫无关系的问题中！