量纲法竟然还能这样用

公式 h = (1/2)·g·t^2 里， t 头上的平方并不奇怪。显然，物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的，高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位，是米除以平方秒的形式；为了得出一个以长度为单位的结果，我们必须要消除分母位置上的“平方秒”，因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。

类似地， E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米，牛本身又是千克乘以米每平方秒，刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ，正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。

在数学中，量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数， Heron 公式 A = √s(s – a)(s – b)(s – c)看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数，我们有多种定义其平均数的方案，包括所有数之和的 n 分之一（算术平均数），所有数乘积的 n 次方根（几何平均数），所有数的倒数和的倒数的 n 倍（调和平均数），所有数的平方和的 n 分之一的平方根（均方根），等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致，因此在各种平均数的公式里，平方了就要开回去，取倒了还得倒回来，全乘在一起就得开 n 次方，这样才能得到同样类型的数。

自从在《怎样解题》里看到了量纲法，在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲，慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天，我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子，在这里和大家分享。

在微积分里，下面这个公式是一个相当帅气的结论：

它的推导过程也非常帅，大家可以在这里欣赏到。

不过这并不是这篇文章的重点。我们的问题是，下面这个定积分等于多少？

或者一般地，下面这个定积分等于多少？

毫无疑问，随着 α 值的变化，定积分的结果也会随之变化。我们关心的是，这个结果究竟会随着 α 怎样变？这个式子是对 x 进行积分，我们不妨假设 x 是一个表示长度的量，它的单位是米。首先，指数表示“多少个底数相乘”，应该是一个数，是不会有单位的。也就是说，指数 -α·x^2 应该是无量纲的。但 α 后面乘了一个 x^2 ，因此 α 本身的量纲就应该是 1/(米^2) 。由于底数 e 是一个没有单位的常数，因此连续的 e 相乘也是没有单位的； dx 是 x 变化一点点的量，它的量纲和 x 一致，也是米；因而， e^(-2x^2) dx 的单位也就是米了。而对这些以长度为单位的量进行求和，得到的结果也只能是“多少多少米”的形式。也就是说，整个定积分应该会得到一个以米为单位的量。

同时，定积分的结果也是一个关于 α 的函数。但是， α 是一个以 1/(米^2) 为单位的量，怎样才能把它变成一个以米为单位的量呢？答案就是， α 必然要以 1/√α的形式出现在定积分的结果中。也就是说，整个定积分就是 1/√α乘上一个系数。至于这个系数究竟是多少，前面的公式已经给了我们充分的条件了：当 α = 1 时，定积分的值是 √π（也即 √π/√α），也就是说这个系数就是 √π。因此，结论就是：

注意到，我们完全用量纲法，推导出了一个定积分运算结果的形式！