Fitch悖论：我们已经掌握了所有的知识

今天听说了Fitch 可知性悖论(http://en.wikipedia.org/wiki/Fitch's_paradox_of_knowability)，在这里给大家讲一讲。这是由美国逻辑学家 Frederic Fitch 在 1963 年的一篇论文中提出来的。在这篇论文中， Fitch 利用严密的数理逻辑得出了一个看上去很不可思议的结论：假设所有知识都是人类有可能掌握的，那么所有知识都已经被人类掌握了。

为了表达“能掌握的知识”这一概念，我们需要用到模态逻辑。模态逻辑中允许出现这样一种情况：一个命题是假的，但是它有可能是真的。比方说，命题“一加一等于三”是假的，而且它不可能是真的；命题“朝鲜在 2010 年世界杯中获得冠军”是假的，但它却有可能是真的。这两种情况的区别可以从平行宇宙的角度来解释。前者可以在逻辑上被推翻，在任何一个平行宇宙中都不成立；后者虽然在我们的世界中是假的，但却不排除在其它世界中为真的可能。在模态逻辑中，“明天可能会下雨”也能成为一个合法的命题。

下面，我们用 K(φ) 表示人类已经知道了 φ 为真（也就是说 φ 在人类的知识库中）。因而， ¬K(φ) 就表示人类不知道 φ 。再用 P(φ) 表示 φ 有可能为真（在至少一个平行宇宙中成立）。因而， ¬P(φ) 就表示 φ 不可能为真，P(K(φ)) 就表示人类有可能知道 φ 为真。我们作出以下四个假设：

A. K(φ) → φ ，如果我们知道 φ 为真，则 φ 为真。即所有已经知道的都是真理。

B. K(φ ∧ ψ) → (K(φ) ∧ K(ψ)) ，即如果已知 φ 和 ψ ，则已知 φ ，并且已知 ψ 。

C. φ → P(K(φ)) ，如果 φ 为真，则我们有可能知道 φ 为真。即所有真理都是有可能被知道的（这是整个悖论的核心假设）。

D. 如果我们证明了 ¬φ ，就可得 ¬P(φ) 。即如果我们能从逻辑上证明出 φ 不成立，由于这番推理适用于任意一个平行宇宙，因此 φ 就没有成立的可能了。

上面四个假设看上去都没啥问题。不过，这些假设却有一个看上去十分荒唐的推论：所有真理都是我们已经知道的了：

然后呢？要么承认，人类是全知全能的；要么承认，假设 C 不成立，有些知识是不可能为人所知的。当然，也有人指出， Fitch 的推理存在一些很隐蔽的问题，比如假设 C 的式子并不能理解为“所有知识都可知”。你选择哪一派？