或许你从小就一直在思考的两个算术问题

你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象？这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你？今天，大家终于有机会解开谜团了。

问题一： 2 加 2 等于 4 ， 2 乘 2 也等于 4 。还有其他的整数对，它们的和与积也相等吗？

我们要求的就是 m + n = mn 的整数解。方程可以变为 mn – m – n + 1 = 1 ，也就是 (m – 1)(n – 1) = 1 。由于 m 、 n 都是整数，因此 m – 1 和 n – 1 也都是整数。两个整数之积为 1 ，只有两种情况——这两个数都是 1，或者这两个数都是 -1 。前者对应了 m = 2, n = 2 ，后者解出来则是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解（或者如果我们把问题限制在正整数范围）的话，非平凡解就只有 (2, 2)，没有其他的了。

2015 年 5 月 19 日更新：我又学到了三种新的证明方法。这里，我们统一把问题限制在正整数范围内。

1. 不妨假设 m ≤ n 。如果 m ≥ 3 的话，那么 mn ≥ 3n > 2n = n + n ≥ m + n = mn ，矛盾。因此， m 只能是 1 或者 2 。但是，如果 m = 1 的话， m + n = mn 就变成了 1 + n = n ，这显然无解。所以， m 只能等于 2 。原方程变为 2 + n = 2n ，解得 n = 2 。
2. 不妨假设 m ≤ n 。由于 m + n = mn ，因而 m = mn / n = (m + n) / n = m / n + 1 。但是，当 m < n 时， m / n + 1 根本不是整数。所以 m = n 。因此， m + n = mn 就变成了 2m = m²，显然 m 只能等于 2 。因此， n 也只能等于 2 。
3. 首先注意到， m · (n – 1) 一定是 m 的倍数。但是， m · (n – 1) = m · n – m = m + n – m = n 。这说明， n 一定是 m 的倍数。根据同样的道理， m 也一定是 n 的倍数。所以， m 和 n 一定是两个相等的数。因此， m + n = mn 就变成了 2m = m²，显然 m 只能等于 2 。因此， n 也只能等于 2 。

以上是 2015 年 5 月 19 日更新的内容。

有趣的是，如果三个正整数之和恰好等于它们的乘积，解也只有一个：(1, 2, 3) 。更有趣的是，如果四个正整数之和恰好等于它们的乘积，解仍然是唯一的：(1, 1, 2, 4) 。如果五个数呢？这一回，解就不止一个了，(1, 1, 2, 2, 2) 、 (1, 1, 1, 3, 3) 、 (1, 1, 1, 2, 5) 都是满足要求的解。

我们自然想问，对于哪些 n，“n 个正整数的和恰好等于它们的积”有唯一解。让人意想不到的是，这竟然是一个数学未解之谜。目前已经知道，在 n < 13 587 782 064 的范围内，只有 n = 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174, 444 时有唯一解。是否有其他满足要求的 n ，这个问题至今仍未解决。

问题二： 2 的 4 次方等于 16 ， 4 的 2 次方也等于 16 。还有其他的正整数 m 和 n ，使得 m 的 n 次方和 n 的 m 次方也相等吗？

当然，我们忽略所有 m = n 的平凡解。另外，当 m = 1 时，有 1ⁿ= n¹，于是 m = n = 1 。因此，下面我们都假设 2 ≤ m < n 。

等式两边同时除以 m^m，有

mⁿ/m^m= n^m/m^m

即

m^{n – m}= (n/m)^m

由于等式左边是一个整数，因此等式右边也一定是一个整数，可见 n 一定是 m 的整数倍。不妨令 n = k·m ，其中 k 是一个大于等于 2 的整数。于是上式继续变为：

m^{km – m}= k^m

即

m^{m(k – 1)}= k^m

两边同时开 m 次方，有

m^{k – 1}= k

当 k = 2 时，上式化为 m¹= 2，于是我们找到一组非平凡解 m = 2, n = 4 。

如果 k = 3 呢？上式将变为 m²= 3。注意到我们的 m 至少等于 2 ，因此 m²至少也是 4 ，是不可能等于 3 的。

如果 k 更大呢？m^{k – 1}肯定会更大，更不可能等于 k 了。我们用数学归纳法证明这一点。

假设 m^{k – 2}> k – 1，那么m^{k – 1}= m · m^{k – 2}> m(k – 1) ；但 m 是大于等于 2 的，因而 m(k – 1) ≥ 2(k – 1) ；但 k 是大于等于 3 的，因此 2(k – 1) = 2k – 2 > k。

因此， (2, 4) 是这个算术问题的唯一一组非平凡解。