锈规作图续篇：单用一个只能画单位圆的圆规如何作线段中点

上一篇的文章里，讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。

锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造（已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点），进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。

事实上，D. Pedoe 教授还提过另外一个问题：给定 A 、 B 两点，只用锈规能否作出 A 、 B 连线的中点？注意，由于没有直尺，线段 AB 实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。

前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。

有了作等边三角形的方法后，有一件很爽的事情，就是我们可以任意地倍长线段了。如图，给定 A 、 B 两点后，连续作三次等边三角形，我们便能得到 E 点，使得 A 、 B 、 E 在一条直线上，并且 AB = BE 。

接下来的证明过程分成三步。首先我们将说明，如果线段 AB 的长度正好等于 1/√19，如何仅用锈规找出线段 AB 的中点。然后我们将进一步推出，只要线段 AB 的长度小于 2/√19，我们都能找出 AB 的中点。最后，我们将得到一种找出任意长线段的中点的办法。大家或许会说，在作图之前，我怎么知道 AB 有多长呢？读完全部证明后你就会发现，这其实无关紧要，我们不用知道 AB 的长度，最后得出的方法适用于任何长度的线段。

首先假设 AB = 1/√19。用刚才的倍长法，作出同一直线上的 B’ 、 C 、 C’ 三个点，使得 C’B’ = B’A = AB = BC。分别以 C 、 C’ 为圆心，以单位长为半径作圆，两圆相交于点 D 。因此， △DCC’ 就是一个腰长为 1 ，底边长为 4/√19的等腰三角形。用勾股定理可以算出， DA （也就是等腰三角形的高）的长度为 √15/ √19， DB 的长度则为 4/√19。接下来，倍长 BD 到 B”，分别以 B 和 B” 为圆心作单位圆，两圆交于 E 、 E’ 两点。显然， BB” 和 EE’ 互相垂直平分，用勾股定理可以求出，DE = DE’ = √3/ √19。最后，作出等边三角形 EE’G ，容易看出 G 恰好落在 BD 上，并且用勾股定理可以算出 DG = 3/√19。也就是说， G 点正好是 BD 的四等分点！

用同样的方法，我们可以找出线段 AB 下方的另一个 G 点，不妨把它叫做 G’ 。作出以 G 、 B 、 G’ 为顶点的平行四边形 GBG’M ，由相似关系可以得出， M 点就是 BB’ 的四等分点，也就是 AB 的中点了。

接下来，我们将推出，只要 AB 的长度小于 2/√19，我们都能找出 AB 的中点来。像图中那样，以 AB 为底，连续作等边三角形，构成一个“五层宝塔”，最顶端的点记作点 K 。显然，三角形 ABK 是一个等腰三角形。用勾股定理不难算出， AK = BK = √19· AB ，也就是说这个三角形的腰长是底边的 √19倍。接下来，以 K 为圆心作单位圆，再分别以 A 、 B 为圆心画弧，与圆 K 分别交于 P 、 Q 两点。分别以 P 、 Q 为圆心作单位圆，把两圆的另一个交点记作点 C 。注意到， △BCQ 是一个腰长为 1 的等腰三角形。另外，在圆 Q 中，圆心角 ∠BQC 等于两倍的圆周角 ∠BKC ，而 ∠BKC 又是 ∠BKA 的一半，因此 ∠BQC = ∠BKA 。于是， △BCQ 和 △ABK 是顶角相等的两个等腰三角形，它们是相似的。因而， △BCQ 的腰与底之比也是 √19: 1 ，因此 BC 的长度是 1/√19。由对称性， AC 也等于 1/√19。也就是说，我们做出了长度为 1/√19的线段！接下来，找出 AC 的中点 D ，以及 BC 的中点 E ，作出平行四边形 CDME ， M 就是 AB 的中点了。

当然，这需要 AB 的长度小于 2/√19，否则满足 AC = BC = 1/√19的点 C 是不存在的。

如果 AB 再长一些，怎么办呢？接下来的构造就真的具有冲击力了。当 AB 很长时，在 A 点附近取一个充分近的点 A₁（具体地说， AA₁< 1/√19）。然后，从 A 和 A₁出发，不断作等边三角形，形成一个等边三角形点阵。然后从 A 点出发，在这个点阵中行走，每次都朝着某个方向连续走两个线段长。这样两步两步地走，最终总能找到一个离 B 足够近的点 C ，使得 BC < 2/√19。 AC 的中点 D 已经在点阵上了，而 BC 的中点 E 也能作出。作出平行四边形 CDME ， M 点就是 AB 的中点了。