另外两种证明素数无穷多的方法

我们已经知道，素数有无穷多个。当时我们用的是最普遍的证明方法：

假设存在最大的素数P，那么我们可以构造一个新的数2 * 3 * 5 * 7 * … * P + 1（所有的素数乘起来加1）。显然这个数不能被任一素数整除（所有素数除它都余1），这说明我们找到了一个更大的素数。

这里，我们将再提供两种新的证明方法，来自cut-the-knot(http://www.cut-the-knot.org/)两篇新文。

用Fermat数证明素数无穷多

Fermat数是指形为2^(2^n)+1的数，我们把2^(2^n)+1记作F(n)，其中n可以取所有自然数。显然所有的Fermat数都是奇数。一会儿我们将看到任两个Fermat数都是互素的，也就是说，每一个Fermat数的每一个素因子都与其它Fermat数的素因子不同。这也就说明，素数个数有无穷多。

引理1：F(0) * F(1) * F(2) * … * F(n-1) = F(n) – 2, n>=1

证明：数学归纳法。F(0)=3且F(1)=5，那么k=1时显然成立。假设k=n成立，则当k=n+1时：

F(0) * F(1) * F(2) * … * F(n)

= ( F(0) * F(1) * F(2) * … * F(n-1) ) * F(n)

= ( F(n)-2 ) * F(n)

= ( 2^(2^n)-1 ) * ( 2^(2^n)+1 )

= 2^(2^(n+1))-1

= F(n+1)-2

引理2：对任意两个不相等的自然数n和m，有F(n)和F(m)互素。

证明：假设t同时整除F(n)和F(m)，m<n。根据引理1，有：

F(n)=F(0) * F(1) * F(2) * … * F(m) * … * F(n-1) – 2

这说明t可以整除

F(0) * F(1) * F(2) * … * F(m) * … * F(n-1) – F(n) = 2

注意到2只有两个因数1和2。前面说过Fermat数都是奇数，因此不可能被2整除。这样，t只能为1，这就证明了两个数互素。

用*-集合证明素数无穷多

*-集合是一个正整数集合{a1, a2, … an}，使得对所有不相等的i和j都有ai-aj整除ai。

引理1：对所有n>=2，都存在一个大小为n的*-集合。

证明：数学归纳法。{1,2}显然是一个大小为2的*-集合。假设{a1, a2, … an}是一个*-集合。定义b0为a1*a2*…*an（即所有ai的乘积）。对所有不超过n的正整数k，令bk=b0+ak，那么{b0, b1, b2, …, bn}就是一个大小为n+1的*-集。

引理2：假设{a1, a2, … an}是一个*-集合。对所有不超过n的正整数i，定义fi=2^ai+1，那么f1, f2, …, fn两两互素。

证明：显然fi都是奇数。假设fk和fm(fk>fm)可以被同一个素数p整除，那么p也只能是奇数。p可以整除fk-fm即2^am * ( 2^(ak-am)-1 )。由于p是奇数，那么它只可能是整除2^(ak-am)-1。

如果有s整除t，那么2^s-1整除2^t-1。于是，根据*-集合的定义，2^(ak-am)-1整除2^ak-1。那么p就可以整除2^ak-1。但p也能整除2^ak+1，于是我们得出p整除2，这与p为奇数矛盾。

定理：素数有无穷多个

证明：根据引理1和2，对任意大的n，都存在大小为n的集合，里面的数两两互素，即至少存在n个不同的素因子。这就说明了素数的个数可以任意多。