趣题：舞台里的狮子

有一个半径为 10 米的圆形舞台，初始时舞台上的某个地方有一头狮子。这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了 30 千米。求证：在整个过程中，这头狮子至少转了 2998 个弧度。

有时候，换一个角度思考，问题就会迎刃而解。

现在，让我们站在狮子的角度，用狮子的眼光来看周围的世界。这样的话，狮子本身就是静止不动的，运动的其实是整个舞台；再假设狮子的头也是始终朝北的，狮子原地旋转实际上就是整个舞台绕着它做圆周运动。这样一来，舞台中心的运动就只有两种形式：竖直向下的直线运动，以及以狮子为中心的圆弧运动。如下图，左图就是在我们看来，狮子的移动轨迹，其中圆心代表舞台中心；右图就是在狮子的眼中，舞台中心的移动轨迹，其中圆心代表狮子。注意到，由于舞台始终包含了狮子，因此舞台中心绝不可能跑出狮子周围 10 米的范围。因此，每段直线运动都不能持续太久。我们需要不断靠圆弧运动上调舞台中心的位置，让它有继续竖直向下移动的空间。

由于舞台中心一共下降了 30000 米，但舞台中心的初始位置最多只能比终点位置高出 20 米，因而在整个过程中，舞台中心的高度至少还要靠圆弧运动上调 29980 米。因此，圆弧运动的总路程也就至少有 29980 米（事实上，由于两点之间直线段最短，走弧线绕了弯路，因此实际路程比 29980 米大得多）。如果每段圆弧的半径都是 10 米，那么所有圆弧的度数之和就应该有至少 2998 弧度；何况绝大多数圆弧的半径都小于 10 米，因此圆弧的总度数就更大了。这就说明了，在整个过程中，狮子至少转了 2998 个弧度。

题目来源：http://www.cs.cmu.edu/puzzle/puzzle16.html